Hidrológiai Közlöny 1983 (63. évfolyam)
4. szám - Szőllősi-Nagy András: A folytonos Nash-kaszkád adekvát diszkretizálása
156 Hidrológiai Közlöny 1983. 4. sz. Szöllősi-Nagy A.: A folytonos Nash-kaszkád A folytonos Nasli-kaszlcád impulzusválasz-függvénye Az állopotátrneneti mátrix ismeretében — mintegy melléktermékként — könnyen számítható a folytonos modell impulzusválasz-függvénye. Az 1. Függelék (Fl II) képlete szerint az impulzusválasz a h (t) = H exp (F t) G hármas szorzattal számítható. A <P (í) mátrixot jobbról szorozva a G oszlopvektorral az állapotátmeneti mátrix elsó oszlopát kapjuk, amelyet balról szorozva a H sorvektorral a d> (t) első oszlopa utolsó elemének kszorosát eredményezi, vagyis a k(kt J»" 1 -let r— e (n-1)! értéket, melybe visszahelyettesítve a k — \]K kifejezést a Nash-kaszkád jól ismert 1 ( t Y»1 1 -t/K /i(< ) = -A-hH (n~íj] 6 (9 ) impulzusválasz-függvényét kapjuk. Természetesen ugyanerre az eredményre, csak lényegesen több számolással jutunk szukcesszív konvolucióval is (SzöllösiNagy, 1979). Az u (t) hatékony csapadékból/felső szelvény lefolyásából a h (t) impulzusválasszal való t 1 T V"" 1 ~ r/l < y (t) = / e u (t_ T) dr A'(n-1)! J { K ) o konvolucióval ("v. ö.: (FI—10) képlet] számítható az eredő/alsó szelvényben jelentkező y (t) lefolyás. Megemlítendő végül, hogy a (8) állapotátmeueti mátrix első oszlopának /"-szorosa növekvő sorrendben adja meg a növekvő rendszámú kaszkádok impulzusválasz -függ vényeit. 3. A folytonos Nash-kaszkád diszkrét megfelelőinek előállítása Állapot-, és bemenetátmeneti mátrixok Tegyük fel, hogy a kaszkád u (t) folytonos bemenetét és y (t) folytonos kimenetét ekvidisztáns At időközönként mintavételezzük, melynek eredményeképp az U( és y t, < = 0, At, 2At,. . . diszkrét bemenet!kimenet idősorokat kapjuk. A feladat: a folytonos kaszkád diszkrét megfelelőjének előállítása, amely tehát: 1. a diszkrét időpontokban ugyanazt az értéket adja mint a folytonos modell (diszkréten koincidens) és ugyanakkor 2. figyelem&(Al) = amely explicite nem függ í-töl, lévén a modell idő-invariáns. Az állapotátmeneti mátrix tulajdonságai közé tartozik (Csáki, 1973, p. 251), hogy mindig létezik inverze, így (13) sem szinguláris. be veszi a két szomszédos diszkrét időpont közötti dinamikus változásokat is. Megjegyzés: A folytonos dinamikus állapottér modellel sok mindent lehet tenni, csak egyet nem: az együttható mátrixok/vektorok változtatása nélkül átírni diszkrét alakba. Az átírás eleve hibás, mert — könnyen belátható módon — a mintavételi időpontokban más értéket ad, mint a folytonos modell. Kétségtelen, hogy a fenti modell is diszkrét megfelelője valamilyen folytonos modellnek, csak éppen nem a Nash-kaszkádnak. Az irodalom, különösen a rekurzív állapotbecsléssel foglalkozó, sajnos számos példáját adja az ilyen típusú hibának. A furcsa csak az, hogy a rossz eredmények láttán a hibát a becslési algoritmusban keresik, jóllehet már a kiindulás hibás volt. A (4) folytonos állapotváltozós modellnek megfelelő diszkrét állapottér modell a következő: +r t(At)u t (ío) (levezetését lásd az 1. Függelékben), ahol 0, (At) = 0 (í + At, t) = exp (F • (t + At -<)] = = exp(Fzíf) (11) a At mintavételi intervallumhoz tartozó állapotátmeneti mátrix (v. ö.: [FI—13]), és \ t + At r, (At)= J 4>(t+At, T)G dr= Í t + At = J V(t + At-T)G AT (12) / a bemenetátmeneti mátrix, feltéve, hogy a bemenet a At intervallumban állandó, u(r) = = const, re[t,t + At], v. ö. (FI—14). A folytonos modelltől való megkülönböztetés végett a diszkrét modellben alsó indexben szerepel az időváltozó. Megjegyzés: A (10) leírás folyamatos jelenségek diszkrét modelljét adja. Az eleve diszkrét jelenségek modellezésénél az állapot-, és bemenetátmeneti mítrixok fenti számítására — a két szomszédos diszkrét időpont közötti dinamikus állapotváltozás híján — természetesen nem kerül sor. Ilyen eleve diszkrét kaszkádmodelleket tárgyal Kontur (1977). A At mintavételi intervallumnak megfelelő (11) állapotátmeneti mátrix (8)-ból kapható At helyettesítésével : (13) A (3) folytonos modell speciális szerkezete miatt — nevezetesen, hogy egy bemenetű — a (12) bemenetátmeneti mátrix oszlopvektorrá degenerálódik. Ha a (13) állapotátmeneti mátrixot a*. -tcAt kAté (kAt) 2 ~2!~ -kAt 0 -kAt kAte~ l/ U 0kAt)»-i t M (kAt) n~ 2 c_ kAt (n-l)l (n-2)1
