Hidrológiai Közlöny 1983 (63. évfolyam)
4. szám - Szőllősi-Nagy András: A folytonos Nash-kaszkád adekvát diszkretizálása
Szöllősi-Nagy A.: A folytonos Nash-kaszkád Hidrológiai Közlöny 1983. 4. sz. 155 ahol az x (.) állapotváltozónak határozott fizikai jelentése van, t. i. a tározás. A megfelelő kimeneti egyenlet: 1 ~K x(t) (2) lévén — a linearitási feltétel értelmében — a kifolyás arányos a tározással. (Az állapottér-módszer itt nem részletezhető alapelveit illetően Csáki, 19711, könyvére utalunk.) Sorbakapcsolt lineáris tározók Az elemi lineáris tározó elvének eléggé magától értetődő általánosításával jutott Nash (1957) a róla elnevezett kaszkádmodellhez, amely a felszíni lefolyást sorbakapcsolt, azonos If-tározási tényezőjű elemi lineáris tározókkal modellezi. Megemlítendő, hogy Nashtől függetlenül ugyanehhez a struktúrához jutott Kalinyin és Miljukov (1958) a nyílt felszínű fokozatosan változó nempermanens vízmozgás differenciálegyenleteinek közelítő megoldásakor. Itt most a kaszkádmodell állapottér-leírását [Szöllősi-Nagy, 1976) tekintjük. Tesszük ezt azért, x^t) x 2(t) i 3(t) — - X n(t) _ -k k 0 -k k -k (4) vagyis mátrixos alakban az állapotegyenlet: x (í)=F x (t) + (i u (t) ahol F a kaszkádmodell Toeplitz típusú n*n méretű együttható mátrixa, G pedig n dimenziós bemeneti együttható vektora (általában: p számú bemenet esetén n*p méretű mátrix). Mivel az utolsó elemi tározó kifolyási idősora a teljes rendszer kimenete, a (4) állapotegyenlethez tartozó kimeneti egyenlet: y(t) = [ 0,0, ...,k] x 2(t) (5) - Xn(t) A H w-dimenziós kimeneti együttható (sor) vektor bevezetésével: y(t) = Kx(t) (6) A (4) és (6) egyenletek definiálják a Nashkaszkád folytonos állapotváltozós modelljét, ami lineáris és időinvariáns. A folytonos lineáris állapotegyenlet megoldását az 1. Függelék foglalja 0(<)=exp(F = G-kt kte-u M 2 e2Í (let) n-i alsó háromszög-mátrix adódik. mert az állapottér leírás egyrészt lényegesen egyszerűbben vezet el a diszkrét modellhez, mint az O'Connor (i. m.) által alkalmazott diszkrét Fourier-transzformáció, másrészt az egyes diszkrét reprezentációk közötti általános összefüggés megállapítása válik lehetővé. u(t) A x f(t) kx 2(t) kx„-i(t) kx n(t)-y(t) x,(t) * x 2(t) 7. ábra. A folytonos Nash-kaszkád hatásábrája Puc. 7. PpacßuK 6AUHHUÜ ÖAH HenpepbieHoeo Kacnada Hauia A kaszkádmodell hatásábráját az 1. ábra szemlélteti. Tehát: egy elemi lineáris tározó kimenete az azt követő elemi lineáris tározó bemenete, míg az utolsó elemi tározó kimenete az egész rendszer kimenete. Jelölésbeli egyszerűség kedvéért legyen 1 \K — k. Amennyiben x t (t) jelöli az i-edik tározóban lévő víz mennyiségét a t időpontban, akkor — az (l)-el azonos módon — n sorbakapcsolt elemi tározó kontinuitási egyenlete: 0 k x t(t) 1 x 2{t) 0 x 3{t) + - X n(t) _ _0_ u(t), (3) röviden össze —- erre a diszkrét modell felépítésénél is szükségünk lesz. A megoldásban fontos szerepet játszik az állapotátmeneti mátrix (definícióját és tulajdonságait illetően lásd: Csáki, 1973, p. 250). Lévén a folytonos modell idő-invariáns, az állapotátmeneti mátrix az F együttható mátrix exponenciális mátrixaként állítható elő, vagyis 0 (t) = exp (F t) (7) amennyiben a kezdeti időpontra í o = 0 választással élünk. A 0 állapotátmeneti mátrix számítása általában nem könnyű feladat. Az irodalom számos eljárást javasol (ezek kritikai áttekintését lásd Moler és Van Loan, 1978, cikkében), kezdve a Cayley-Hamilton tételtől az F rendszermátrix teljes spektrális felbontásának előállításáig, általános recept azonban nem adható; az alkalmazandó eljárás erősen függ a mátrix szerkezetétől. A Nashkaszkád esetében — az F mátrix toeplitzi szerkezete miatt — szerencsére könnyen számolható (7) mátrix exponenciális. Ennek részleteit a 2. Függelék tartalmazza. Végülis az állapotátmeneti mátrixra a i-t -kt 0 kte~ k t (kt) n~ (n-2)! -kt (8)
