Hidrológiai Közlöny 1983 (63. évfolyam)
4. szám - Szőllősi-Nagy András: A folytonos Nash-kaszkád adekvát diszkretizálása
154 Hidrológiai Közlöny 1983. 3. sz. Hozzászólás A folytonos Nash-kaszkád adekvát diszkretizálása SZÖLLÖSI-NAGY ANDRÁS* A tanulmány a folytonos Nash-kaszkád diszkretizálásával foglalkozik az állapottér-módszer elveinek alkalmazásával. Megadja a Nash-kaszkád folytonos állapotváltozós alakját, valamint az állapot-átmeneti mátrix és az impulzus-válaszfüggvény számítását. Diszkrét állapotváltozós modellt származtat, melynek állapot-, és bemenet-átmeneti mátrixai duális relációban vannak. A folytonos Nash-kaszkád tetszőleges diszkrét állapotreprezentációi egymással lineáris transzformáción keresztül függnek össze. Határátmenet ben a diszkrét modellek azonosak a folytonos Nash-kaszkáddal. A diszkrét állapotmodellek diszkréten koincidensek a folytonos modellel, ugyanakkor tekintetbe veszik két szomszédos mintavételi időpont közötti dinamikus változásokat. Az állításokat numerikus példa illusztrálja. 1. Bevezetés A folyamatos ( real-time) hidrológiai előrejelzés problémáinak megoldása az elmúlt néhány évben nemzetközi és hazai vonatkozásban is egyre égetőbbé vált. Az előzőre példa a témakörrel foglalkozó irodalom rohamos növekedése (lásd például a Chao-Lin-Chiu, 1978; valamint a Wood és SzöllősiNagy, 1980; által szerkesztett köteteket, illetve az IAHS 1980. évi oxfordi előrejelző konferenciájának anyagát), míg honi kapcsolódásban a vízügyi ágazat kiemelt előrejelzési célprogramja, annak eredményei és problémái említhetők. A real-time hidrológiai előrejelzésre eddig kifejlesztett modellek, majdnem kizárólagosan, az állapottér módszer elvein alapszanak. A módszertan maga a hatvanas években fejlődött ki a szabályozástechnika keretein belül (lásd Csáki, [1973] áttekintő könyvét). Az állapottér-módszer hidrológiai alkalmazásának fő oka abban van, hogy e módszer könnyen gépesíthető algoritmust ad az előrejelzési modell paramétereinek és állapotainak — egyébként kritikus és eddig csak nehezen, vagy egyáltalán nem megtehető — felújítására. Feltéve, hogy a megfelelő állapotmodell, vagy másként: a dinamikus hidrológiai rendszer internális leírása, rendelkezésre áll, akkor a modern digitális szűrési technikák, ezek között is elsőként említendő a híres Kalman-szűrő, gyorsan és igen hatékonyan oldják meg a real-time előrejelzés /paraméter-felújítás feladatát, ráadásu[ kis számítógépeken, sőt ma már mikroprocesszorokon. Azon túl, hogy a szűréselmélet megoldást kínál az előrejelzés/felújítás feladatára, még azt is lehetővé teszi, hogy real-time, ill. állandósult állapotban lehessen elemezni és numerikusan jellemezni e két becsléssel járó bizonytalanságot (lásd: idézett műveket). Van azonban a digitális szűrési technikák alkalmazásának egy sarkalatos előfeltétele. Nevezetesen: szükségeltetik a folyamat diszkrét modellje. A modell lehet — a jelenség fizikájából fakadóan •Vízgazdálkodási Tudományos Kutató Központ, Budapest. — eleve diszkrét ( O'Connor, 1975; Kontur, 1977) vagy egy folytonos folyamat diszkretizált modellje. Ez utóbbi diszkretizálással, azonban körültekintően kell eljárni, ha valóban meg akarjuk tartani a rendszer dinamikájának adekvát leírását. O'Connor már idézett alapos munkáját kivéve, amely az eleve diszkrét modelleket elemezte, az irodalom keveset foglalkozott folytonos hidrológiai modellek diszkretizálásával. A folytonos modellek diszkrétté való „átírásának" sajnálatosan sűrűn követett gyakorlata valójában több, mint félrevezető. Nemcsak divergenciát eredményez a szűrés során, de legelőször is más folytonos folyamatot ír le, mint amit eredetileg diszkrét alakban kívántak modellezni. Az állapottér módszer elveit alkalmazva a tanulmány megkísérli a hidrológiai előrejelzésben nagy fontosságot játszó folytonos Nash-kaszkád elméletileg is elfogadható diszkretizálását. A probléma megoldását gyakran „...matematikailag borzalmas(nak) és mindig többé-kevésbé v tetszés szerinti(nek). .." tekintik (idézet: Klemes, 1978, p. 315). Az adekvát diszkrét modell — tehát az, amely a diszkrét időpontokban koincidens a folytonos modellel (ugyanazt az értéket adja) és ugyanakkor figyelembe veszi két szomszédos mintavételi időpont között lejátszódó dinamikus változásokat — származtatásán túlmenően megmutatjuk, hogy tetszőleges két (vagy több) diszkrét modell miként függ össze egy lineáris transzformáción keresztül. Ez tehát azt jelenti, hogy: ha adott egy adekvát diszkrét modell, akkor ebből származtatható tetszőleges más diszkrét modell, és az szintén adekvát lesz. 2. A Nash-kaszkád folytonos állapotváltozós modellje Elemi lineáris tározó Tekintsünk egy elemi tározót u(t) befolyással és y(t) kifolyással. A tározott x(t) vízmennyiség megváltozását a d x (t) \ ————= -V (*)+« (<) d t kontinuitási egyenlet írja le. A vízmozgás dinamikáját leíró momentum egyenletet az árhullámkép-áthelyezés, ill. vízgyűjtőhidrológia gyakorlata általában erősen egyszerűsített alakban veszi csak figyelembe, oly módon, hogy azt a tározás és a kifolyás közötti x(t) =K (t)y™ (t) alakú kapcsolattal helyettesíti (e közelítés tartalmáról, korlátairól lásd: pl. Raudkivi, 1979, könyvét). A fenti összefüggésben K (t) az idő dimenziójú tározási tényező, másként: az elemi tározó átlagos késleltetési ideje, m pedig az összefüggés alakját meghatározó tényező. Abban az esetben, amikor K (t) — K — const és rn = 1, a tározás a kifolvás x(t) —K y (t) lineáris függvénye. Ez a két feltétel definiálja a lineáris időinvariáns tározót, melynek folytonos állapotegyenlete: d x (t) • x (<)+" (0 (1)
