Hidrológiai Közlöny 1982 (62. évfolyam)

10. szám - Dr. Molnár György–dr. Popper György: Felszín alatti vízmozgások szimulálása véges elem-módszerrel

450 Hidrológiai Közlöny 1982. 10. sz. Dr. Molnár Gy.—Dr. Popper Gy.: Felszín alatti 4. ábra. A természetes peremjeltétel megoldásának módja Puc. 4. Cnocoö peuieHun ecmecmeewweo Kpaeeozo ycAosun Abb. 4. Art der Lösung der natürlichen Randbedingung határozni a lokális bázisfüggvények segítségével. Ekkor kapjuk, hogy az elemre vonatkozó természetes peremfeltételek vektora 2. csúcs V ] . csúcs -g

1 f <w

2 dl + g

2 J 3. csúcs 2. csúcs COÍ dl 1. CSÚCS + 9s / 3. csúcs CO

, dl (53) dt At -+F = 0 (57) Kiindulva a t = l

0 ós c(l

n) kezdeti feltételekből, feladatunk az (58) alatti lineáris algebrai egyenletrendszer többszöri megoldása, ahol az A + 1 At Ii együtthatómátrix szimmetrikus szalagmátrix. A problémát bonyolítja, hogy amennyiben az F vektor a h potenciálértéknek, vagyis a c vektornak nemlineáris függvénye (mint például szabad vízfelszínű víztartó esetén), akkor az (58) nemlineáris egyenletrendszert újabb időlép te tós előtt (utóiterációval) oldjuk meg. Ebben a vonatkozában az (58) formula implicit módszert képvisel. Végül tekintsük a (14) alatti lényeges peremfeltételeket, amelyek c(t) = c(t)a r

x peremrészen (59) és mivel az r csúccsal szemben levő oldalon <pr = 0, kapjuk, hogy Y t9i-h+9

3-h P' = Y 9i-h + 92'h (54) Ui-h+Qyh Az / elemi teher vektort a (51) és (54) alatti vektorok egyszerű f = e-p* (55) kivonásával nyerjük. Ha i, illetve p egy elem ugyanazon csomópontjának a sorszáma lokális, illetve globális számozási rendszerben, akkor az elemi tehervektor f

1 elemét hozzáadjuk a globális tehervektor F

p eleméhez. •3.4 Az idő szerinti derivált véges differenciával való közelítése Miután meghatároztuk az A, B mátrixok és az F vektor elemeit, még meg kell oldani az ár Ac+ B F — 0 (56) közönséges differenciálegyenlet kezdeti értékfeladatát. Erre a célra számos numerikus módszer (pl. Runge—Kutta vagy prediktor-korrektor típusú eljárás) áll a rendelkezésre. Esetünkben a lehető legegyszerűbben járunk el, amikor az (56) alatti egyenletet az ,, „ c{t + At)-c{t) Ac(í + dí) + Bhaladó-differencia formulával közelítettük, amely (

A

+JtVyt + At) = ~Mt)-F (58) alakban is felírható. alakban is írhatók. A gyakorlatban ez azt jelenti, hogy megadjuk azoknak a csomópontoknak az i indexeit, amelyekben a c

4(í) értékek elő vannak írva. A következő egyszerű fogás alkalmazható: Ha c^t) és c

t(t + At) előírt peremértékek a t és t + At időpontokban, akkor a c

4(í) i-edik eleme, majd az (58) egyenletben szereplő B mátrix (i, i) indexű főátlóelemét felcseréljük egy, a többi elemhez viszonyított nagyon nagy számmal. Ha még az F vektor i-edik elemét is felcseréljük ennek a nagyon nagy számnak a c

t(t) — c

t(t + At) különbséggel képezett szorzatával, akkor az (58) egyenlet c (t + At) megoldásvektorának i-edik eleme az előírt c^t + At) peremértékkel lesz egyenlő. 4. A programok ismertetése A széles körű alkalmazhatósága érdekében a véges elem módszer felhasználásával több egymástól különböző feladat megoldására alkalmas programot készítünk. Ezek a következő feladatok megoldására alkalmasak: a) Nyomás alatti, egyrétegű víztartó tér modellezése vízzáró határfeltétel esetén. b) Nyomás alatti egyrétegű víztartó tér modellezése általános (szakaszonként változó) határfeltétel esetén. (Belső határfeltétel is lehet.) c) Szabad vízfelületű egyrétegű víztartó tér modellezése általános határfeltétel esetén. d) A talaj vízállástól függően szabad vízfelszínű, illetve nyomás alatti víztartó tér modellezése általános határfeltétel esetén. e) Több rétegű víztartó tér modellezése általános határfeltételek esetén, a legfelső réteg szabad vízfelszínű is lehet. f) A transzmisszibilitás és tárolási tényező optimális értékét meghatározó, ún. bearányosító program. Az a),b),c) ós a d) pontokban leírt programok elkészültek, jól működnek. A többi kifejlesztése folyamatban van, rövidesen használhatók lesznek. Úgy véljük, hogy a 3. fejezetben ismertetett módszerekre támaszkodó programok részletes ismertetése és működésük értékelése jelen tanulmányunk terjedelmét jelentősen meghaladná, azon-