Hidrológiai Közlöny 1981 (61. évfolyam)
7. szám - Dr. Reimann József: Hidrológiai változók közötti kapcsolatok vizsgálatáról
Dr. Reimann J.: Hidrológiai változók Hidrológiai Közlöny 1981. 7. sz. 295 y-fM \x~xji(x) dx-\-x / \x — xji(x) dx — =min. és (2.1) va 0 0 (i-a) J \y-yjg(y)dy+ix J \y-yjg(y)dy= 6. ábra. Valószínűségi változók közötti monoton függvénykapcsolat közelítő meghatározása a kvantilis-görbe segítségével Puc. 6. npuömmeiman oifewca Monmonnoü (fiynifuoHa/ibHOÜ C6H3U Mestcdy eeposimnocmnbiMu nepeMemibiMu npu noMoufu KeaumuAbiioü Kpueoü Fig. 6. Approximate determination of the monotonous functional relationship between random variables with the help of the quantile curve Hasonlóan járunk el negatív asszociáció esetén is, amikor a kvantilisgörbe az (a:, ) pontokon halad át. Amennyiben az X ill. Y valószínűségi változók F(x) ill. (i(y) egyváltozós eloszlásfüggvényei nem ismertek, akkor a megfelelő minta kvantilisekkel, az x*<x*<... <x*; r*<y*<... <r* 1 2 n 12 n rendezett minták empirikus kvantiliseivel dolgozunk. Minthogy a minta kvantilisek torzítatlan becslései az elméleti kvantiliseknek, így az empirikus kvantilisek segítségével fenti módon kapott görbe elég nagy mintaelemszám esetén jó közelítése az elméleti kvantilis görbének. Felmerül természetesen az a kérdés, hogy a kvantilis görbe milyen értelemben illeszkedik „jól" az (X v F t), (X 2, F 2), . . ., (X„, Y n) kétdimenziós mintát reprezentáló pontfelhőhöz? Van-e a kvantilis görbének a regressziós görbéhez hasonlóan valamilyen optimum-tulajdonsága? Ismeretes, hogy az Y változónak X-rc vonatkozó regressziós görbéje az Jb{Y\X = x) feltételes várható érték görbe azzal az optimális tulajdonsággal bír, hogy Y feltételes szórásnégyzete az X = x feltétel mellett minimális. Hasonló tulajdonságú az Yj(X\Y = y) regressziós görbe is. A kvantilis görbének is van bizonyos optimális tulajdonsága, mégpedig szerkesztési elve alapján egyidejűleg mindkét (X és az Y) valószínűségi változóra vonatkozólag. A kvantilis görbe [azaz az (x , y .) pontok halmaza miközben a befutja a (0, 1) intervallumot] olyan görbe, amelytől az adott kétdimenziós minta pontjai abszolút eltéréseinek bizonyos súlyozott átlaga minimális, nevezetesen adott (x a, yj pontra egyidejűleg teljesülnek az =min. összefüggések. A (2.1) összefüggést az alábbi módon láthatjuk be: keressük azt a z számot, amelyre Z 00 (1 — a) J (z — x) f(x) dx+a J (x — z) f(x) dx = =min. Ekkor: azaz z z z J zf(x)dx— J xí(x)dx—a. J zf(x)dx-|00 z + « f xí(x)dx+a f xí(x)dxZ —00 — a J zí(x)dx=mm. z z zF(z)- az F(z)-|-ara — J xí(x)dx — — 00 —a í z f(x) dx = z =z F(z) — az F(z) — az + az F(z) + ara — z - f x f(z)d*=min. jahol m =E(x), és figyelembe vettük, hogy 00 J í(x) dx =1 — F(z) j z Bevezetve a z <p(z)=zF(z)-a(z —m) — J xí(x)dx függvényt, minimum csak ott lehet, ahol <p'(z) =F(z)+z f (z) — a — z f (z) =0 amiből F(z)=a, z=F _ 1(a) =% a Természetesen analóg összefüggést nyerünk az Y valószínűségi változó í/^-kvantilisére vonatkozólag is. 3. Monoton függvénykapcsolat vizsgálata exponenciális eloszlású valószínűségi változók között Bizonyos hidrológiai alkalmazások szempontjából különös figyelmet érdemel az exponenciális
