Hidrológiai Közlöny 1981 (61. évfolyam)
7. szám - Dr. Reimann József: Hidrológiai változók közötti kapcsolatok vizsgálatáról
296 Hidrológiai Közlöny 1981. 7. sz. Dr. Reimann J.: Hidrológiai változók eloszlású valószínűségi változók közötti függvénykapcsolat vizsgálata. Pl. az árvizek hidrológiájában az adott (elég magas) c-szint feletti túllépés (a tetőzési érték és a c-szint különbsége) exponenciális eloszlású és ugyancsak exponenciális eloszlású az árhullám levonulási ideje is (7. ábra). X :F(z)=l-e -Pu Ha most akkor ~Pv Így: g=G(y)=l-e ln(l z) y=G-»[F(«)]=-i-In [1-1+e "] = x 1 7 i E(X) (Megjegyzés: ha X eloszlásának mediánja x 1 , Y 2' eloszlásának mediánja y x , akkor 2 _ E(7) V~ E(X) .*" Via x ll 2 Ugyanis, ha F(z)=l — e , akkor x= x 1 — aX 1 6 =2 7. ábra. Adott árhullám esetében a c-készültségi szint, feletti X túllépés nagysága és az árhullám Y levonulási ideje között lineáris kapcsolat áll fenn (közelítőleg) Puc. 7. JJASI daHHoeo rtaeodica Mentőit eeAU'iUHOÜ npeeuluenuH X Had 3adamibiM ypoeueM <ic» u nepuodoM rtpoxoxcdeiiun naeodKa y cyiijecmeyem (npiiAUMcenno) Auneünaa C8H3b Fig. 7. An (approximately) linear correlation exist within a given flood wave between the magnitude X of exceeding the warning level c and the length X of the flood wave Legyenek X és Y exponenciális eloszlású valószínűségi változók hasonlóan: tehát: -a.x = -In 2 ~ In 2 x 1 = 2 a ~ In 2 V P In 2 2/1/2 P P a r^j Xll2 In 2 a 1 a P T:G(y)= l-e el oszlásfüggvényekkel. Tételezzük fel, hogy X- és Y között monoton (növekvő) függvénykapcsolat áll fenn: Y=qi(X), ahol <f(X) folytonos függvény. Megmutatjuk, hogy ez esetben áz y=cp(x) függvény csak lineáris lehet, mégpedig: y=<p(x)= X =~J X < 3 1) Ez az első pillanatra meglepő állítás, nevezetesen, hogy exponenciális eloszlású valószínűségi változók között nem lehet más monoton függvénykapcsolat, mint lineáris, mégpedig az origón átmenő egyenes, amelynek iránytangense a várható értékek hányadosa — igen egyszerűen belátható. Ugyanis az (1.10) összefüggés értelmében, ha két valószínűségi változó között monoton növekvő függvénykapcsolat áll fenn, akkor az a kvantilis görbével egyezik meg, amelynek egyenlete az (1.9) formula alapján: cp(x)=G-\F(x)] 4. Az ortogonális regresszió problémája exponenciális eloszlású valószínűségi változók esetében Legyenek X és Y valószínűségi változók és (X, Y) az összetartozó értékeiből álló véletlen pont a síkon. Keressük azt az L egyenest, amelytől az (X, Y) véletlen pont d ortogonális távolsága négyzetének a várható értéke minimális (8. ábra). Ha az L egyenesnek az origótól való távolsága c, továbbá az egyenes q> szöget zár be az Jí-tengd v pozitív irányával, akkor az egyenes (X, Y) pontjaira fenn áll az (4.1) Fcosíp — Xsin cp = c összefüggés. Az (X, Y) véletlen pont általában nem esik az L egyenesre, ezért keressük az E(d 2) =E(F cos rp — X sin cp — c) 2=min. feladatot megoldó </> és c értékeket. Legyen f(<p, c) = 8. ábra. Az L ortogonális regressziós egyenes me ghatározása Puc. 8. OnpedeAenue opmozomiAbnoü peepeccuonnoü npsuuoü L Fig. S. Determination of the ortliogonal regression straiyht line L
