Hidrológiai Közlöny 1980 (60. évfolyam)
11. szám - Dr. Vágás István: Az árhullám előrejelzés mércekapcsolati módszerei
530 Hidrológiai Közlöny 1980. 11. sz. Dr. Vágás I.: Az árhullám-előrejelzés x„ic. Az itt meghatározott inercianyomatékot két tengelyre vett, más szóval centrifugális inercianyomatéknak is nevezik. Mindezekből látható, hogy a statisztikai varianciák az aequatoriális, a kovarianciák pedig a centrifugális másodrendű nyomatékokkal azonosak. A statisztika „momentum" elnevezése a mechanikai „nyomaték" elnevezés magyarosítás nélküli alakja. Ha azonban ezek a mechanikai és statisztikai fogalmak azonosak, akkor a statisztikában is jogosult a mechanikában meghonosodott számítási és szerkesztési eljárásokat alkalmazni és az azokból tett következtetéseket érvényesíteni. 1. Varianciák és kovarianciák transzformációja Legyenek ismeretesek az x^ és Xj k(j = 7, 2,.. .n) változók eloszlásának varianciái: Ai ésD k k, valamint a két fajta változó kovarianciája: A* (ami egyébként Arvel is azonos). Térjünk át az x változóról új, w változóra. Minthogy eredeti kikötésünk szerint a varianciákat és kovarianciákat súlyvonalakra — súlyponton átmenő tengelyekre — értelmeztük, az új, w változóra való áttérés jelentése kizárólag az x változóra vonatkozó tengely elforgatása lehet. Jelöljük az elforgatás szögét a-val. Elforgatás esetén az x és a w változók közötti összefüggés (1. ábra): r xL cosx + x K sin a •w K = x K cosoc - x L sin a TF«=A» -cos 2 a-f Ai -sin 2 a-f Di k -sin 2a (26/a) Hasonlóan: Wtk=D/ek -COS 2 a-f Ai -sin 2 a —Avt -sin 2a (26/b) W i k = Dk k~ Di i -sin 2a+At -cos 2a (26/c) Nyilvánvaló, hogy létezik olyan a 0 elforgatási szög, amelynél Wi k = 0, vagyis amelynél a kovariancia eltűnik. A (26/c) egyenletből ezt kiszámítva kapjuk: tg2a 0=~ 2 D;* , (27) ÍJkk ~ Uii Ha ezt az egyenletet a 0-ra megoldjuk, úgy erre 71 vonatkozóan az a 0-f — is megoldás. Ha ezek után A a (26/a) és (26/b) egyenletekből képezzük a dW n a dlV k k _Q fejtételeknek megfelelő da da 6 egyenleteket, vagyis keressük azt az a értéket, amelynél a varianciáknak szélső értéke van, akkor 71 ennek a feltételnek is az a 0, illetve az a 0-f—-érték felel meg. Ebből következik, hogy abban a tengelyrendszerben, amelyben a kovariancia eltűnik, a varianciák maximumukat, ill. minimumukat veszik fel. A maximális és a minimális varianciákat a mechanika szóhasználata nyomán fővarianciáknak is nevezhetjük és megkülönböztetésként F-vel jelölhetjük. Az e varianciákhoz tartozó koordinátatengelyek a főtengelyek. A fő-varianciák számértéke : 1 1 1. ábra. A varianciák, és a kovariancia transzformálása a koordináta-tengelyek elforgatásával Abb. 1. Transformierung der Varianzen und der Kovarianzen dureh Verdrehung der Koordinaten-Achsen Wi =X{ cos a-f x k sin a w k=x k cos a — Xi sin a (25) Fejezzük ki a varianciákat és a kovarianciát a w változókra is a (25) figyelembevételével. Jelöljük most ezeket D helyett megkülönböztetésként W-ve 1: 1 U 1 Wu =— > wji= cos 2 a Zxji-1n n 7 = 1 F max =2 -(AH-A*)+2 •]\Dk k-D i i)*+±Dl (28/a) Fmin =\ • (Dü+Dkk) - \ •][(D^~Du)*+ (28/b) Ha a főtengelyek helye és a fő-varianciák értéke ismeretes, meghatározhatjuk a kovariancia maximumának tengelyét is. Ha e tengely hajlása a főtengelytől számítva (3 0, akkor az erre vonatkozó kovariancia a (26/c) értelmében: sin 2p 0 (29) (mert a főtengelyeken nincs kovariancia) dWik Meghatározva a———=0 feltétel egyenletét, 71 kapjuk, hogy /3 0=—=45°. A kovariancia maxi4 muma tehát a főtengelyek szögfelezőjébe eső tengelyrendszerben jelenik meg. Értéke, minthogy a kétszeres /3 0 szög derékszög, annak szinusza pedig 1, a (29) alapján: Fmax Fmin Wik, max —~ (30) -f 2 sin a -cos a •— - Sxji •2^-|-sin 2 a •— -Ex%, 1% M ebből: n Ha F ma x=F min, azaz ha a fő-varianciák megegyeznek, minden tengely főtengely és Wi k = 0 minden tengelyre.
