Hidrológiai Közlöny 1980 (60. évfolyam)

11. szám - Dr. Vágás István: Az árhullám előrejelzés mércekapcsolati módszerei

484 Hidrológiai Közlöny 1980. 11. sz. Dr. Vágás I.: Az árhullám-előrejelzés egyenletének mindkét oldalából y

3-t az összes j = 1, 2, ... megválasztásnak megfelelően: 2/oi~ 2/l —®l

a'12~l~®2

a'12

_l~ • • • "r^m^xm + am + i — 2/l 2/ü2 2/2 • • • + í V2 : (5) H2~\~ • • • -\-ttmXnm-\am+\ — 2/o Ezek után kell képeznünk az y

0j—yj különbségek négyzetét, majd ezeket a különbségi négyzeteket összeadnunk. Ezt követően a négyzetes kifejezések minimumát határozzuk meg. A minimum meghatározása a függvény-minimum meghatározásának módját követi, azaz megállapítjuk a négyzetösszeget jelképező ® függvény különböző indexszámú a változók szerinti parciális differenciálhányadosait és ezeket zérussal tesszük egyenlővé. Meghatározzuk tehát a -|®=0, -§£.=0, ií-=0. (6) oa

1 oa

2 ocL

m oa

m

+\ feltételt kielégítő egyenleteket. Mutassuk be a számítás menetét az aj együtthatóval, mint változóval történt differenciálás esetére. Az (5) egyenlet négyzetreemelt jobboldalait az összetett függvényre megállapított differenciálási szabály szerint differenciáljuk : a kettes szorzó a kitevőből előre jön, ezt a négyzetreemelt többtagú kifejezés a

l szerinti differenciálhányadosa követi, amely csak az egyik tagnál nem zérus, végül e két tényezőt még az eredeti, a négyzetnél (második hatványnál) eggyel alacsonyabb kitevőjű, tehát változatlan, (5) egyenletből származó jobboldali kifejezés követi. Minthogy a négyzet összegeket differenciáltuk, a differenciál-kifejezéseket is folyamatosan összegezzük. d® da

1 - • (a

1X

n-\-a

2Xi2~[~ • • • -\amXim-\-üm + i — Vi)+ + 2- 2/2) + + ... + -(-2 • Xni' ((ZjíCjtj —(— 2~I- • • - -\-Q

/m?Cnm-\-Q'm+ \ — J/») =0 (7) A nullával egyenlővé tett hosszú összegnek a 2-es tényezője felesleges. Az egyenlet a műveletek elvégzésével úgy rendezhető, hogy az a,- együtthatók melletti összes szorzó egymás mellé kerüljön: ai' (^11 '

x21 + • • • •X

n\) -f+ ••• + -(^11-2/1+^21-2/2 + •• •+*»!• 2/») =0(8) A zárójelekben lévő összegeket a szumma jelével egybekapcsolva rövidíthetnénk. Alkalmasabb azonban az összegezés jeleként a szögletes zárójelet használni Gausshoz hasonlóan. A (8) egyenlet így megadja a normális egyenletrendszer első sorát, s ha elvégezzük a többi együtthatóval is a differenciálásokat — ez analóg a bemutatottakkal —, úgy megkapjuk a normális egyenletrendszer többi sorát is Minthogy m-\-1 számú együttható szerint lehetett differenciálni, ennélfogva a normális egyenletrendszernek is m-\-1 egyenlete lesz, de ugyanannyi ismeretlenje is. Ez egyértelmű megoldást biztosít. Oii • •®i+[

aVx '

a2~\~ • • • • • • ' xjm\ ' (í m '®m + x Y

xil ' 2/i l =0 \xj

2 •xjjJ •a

1-\-\xj

2 • Xj

2] • a

2-\-. . . • • • [

XJ2 '

xim\lm ' ~{-[

xj2Í °®>» + l [

XJ2 ' H)\ [Xj

m •Xjii •a

1-\-[x

j

m -Xj^ .a

2+.. . • • • [

xjm 'Xjra] • dm-\~\_Xjm\ + i \Xj

m -yj\= 0 [*h\ a2+ • • • . . . -f [xj

m] •a

m+n -a

m+

1 - [yi\ =0 (9) Mielőtt a normális egyenletek megoldásának eredményeire térnénk, foglalkozzunk egy fontos átalakítási lehetőséggel. A normális egyenletek zárójeles, és a zárójel értelme szerint összegezés jelentésű együtthatóinak számításánál az x és az y értékeket a várható értéküktől számított eltérés alakjában is kifejezhetjük. Vízállások behelyettesítése esetén tahát azoknak nem a tényleges értéket használjuk, hanem előbb minden vízmérce esetében az Xji (j= 1, 2, ... w) sokaságnak Xj,/n számtani közép képzéssel várható értékét képezzük, és a későbbi x értékeket a számtani átlaggal képzett különbségükkel számítjuk. Ha a (9) egyenletrendszernek minden tagját elosztjuk w-nel, láthatjuk, hogy a várható értékre vonatkoztatott eltérések figyelembevételével, tahát a normális egyenletrendszer centralizálásával az utolsó egyenletsor minden összegezése zérussá válik, hiszen a várható értékhez képest értelmezett eltérések összege definíciószerűen zérus, és egyedül az marad meg az utolsó egyenletsorból, hogy a

m+1 — 0. így eltűnt az utolsó egyenletsor és az összeadó tényező is. Eltűnik természetesen még az egyenletek baloldali utolsó előtti oszlopa is. A maradék egyenletrendszer most már csak m egyenlet és m ismeretlent tartalmaz. Mi lesz most már a normális egyenletrendszer zárójeles együtthatóinak értelmezése? Mivel n-ne előzetesen már osztottunk, látható, hogy a főátló ban az 1, 2, ... m sorszámú változókra vonatkozó 1,2, . . . n észlelési adat varianciája (szórásnégyzete) áll, a további együtthatók pedig a bennük szereplő változók kovarianciáit tartalmazzák. Jelöljük a varianciákat és a kovaranciákat .D-vel és indexben tüntessük fel, hogy melyik i= 1, 2, ... m sorszámú változóra vonatkozik a variancia, ill. a kovarancia képzése. A normális egyenletrendszer centrális alakja: D

n .Ox-f D

1

2 -a

2 + ... +D

i

m -a

m=D

1

0 D2I '

a2 • • • =^20 D

m

i • a

1+D

m

2 -a

2+ • • • -\-D

m

m •a

m=D

m

o (10) A normális egyenletrendszer megoldása az a

v a

2 . . .a

m mércekapcsolati együtthatók meghatározását eredményezi. Ezeket tekintjük a mércekapcsolat „legvalószínűbb" együtthatóinak. Ha mármost a kiszámított mércekapcsolati együtthatók és az ismert x^ észlelési adatok alapján az (1) egyenlet segítségével kiszámítjuk az y

0, értékeket, azt fogjuk tapasztalni, hogy ezek különbözni fognak