Hidrológiai Közlöny 1980 (60. évfolyam)

11. szám - Dr. Vágás István: Az árhullám előrejelzés mércekapcsolati módszerei

Hidrológiai Közlöny 1980. 11. sz. 483 Az árhullám előrejelzés mércekapcsolati módszerei Dr. VÁGÁS ISTVÁN* a műszaki tudományok doktora Ha a főfolyó valamely alsó vízmércéjén kialakult árvizi tetőző vízállások oksági kapcsolatban állanak a főfolyó felső vízmércéin, valamint egyes feljebb betorkoló mellékfolyók meghatározott vízmércéin kialakult tetőzésekkel, vagy más jellemző vízállásokkal, mércekapcsolati összefüggés meghatározására van lehetőségünk, amelyet a következő alakban keresünk: y = a

1x

l-\-a.^c

2-\-...-\-a

mx

m-\-a

m+

l (1) ahol: y = a főfolyó alsó vízmércéjén várt tetőző vízállás, 3/j — db felső vízmércén, mellékfolyó vízmércéjén, vagy a vizsgált alsó vízmércén előzetesen kialakult tetőző, vagy egyéb, jellemző vízállás, (i= 1,2, . . .m), a,i= a mércekapcsolat együtthatója (i= 1, 2, . . .m) ill. összeadó állandója (i = m-f 1). Az együtthatókat és az összeadó állandót minden konkrét mércekapcsolati összefüggés meghatározásánál a megtörtént árhullámok adatai alapján ki kell számítani. Ahhoz, hogy az m-f 1 számú ismeretlen együtthatót meghatározhassuk, legalább m +1 összetartozó y — Xi értékrendszert kell az (1) egyenletbe helyettesíteni. Ebben az esetben az m-f 1 ismeretlenes elsőfokú egyenletrendszerből az a értékek egyértelműen meghatározhatók volnának. Ha azonban újabb árvíz keletkeznék, minden bizonnyal meglepetve láthatnánk, hogy egyenletünk az új adatokkal már nem adná meg a helyes y értéket. A mereven felfogott oksági összefüggés kisebb-nagyobb hiányosságai miatt ugyanis a különböző időpontokban megtörtént árvizek adatai többé-kevésbé ellentmondásba kerülhetnek egymással. Erre különösen a Tisza esetében kell figyelmet fordítanunk. Ha a mondott ellentmondások véletlen jellegűek és az eltérések értéke az eltűrhető mértéken belül marad, úgy a valószínűségszámítás és statisztika módszereivel kereshetünk megoldást. Helyettesítsünk az (1) egyenletbe minél több, megtörtént árvízi esetből származó y — Xi értékrendszert, lehetőleg úgy, hogy az értékrendszereknek n száma lényegesen nagyobb legyen az együtthatók m-f 1 számánál. Kérdés azonban, hogy a most már minden együtthatóra végtelen sok változatban választható lehetőségek közül melyiket fogadjuk el. A statisztikai tudomány az együtthatóknak olyan, általa legmegbízhatóbbnak tekintett meghatározására törekszik, amellyel ugyan pontosan és egyértelműen sohasem határozhatjuk meg előrejelzendő y értéket, de biztosíthatjuk, hogy a valóságos állapottól számított eltérések a lehetséges eltérések legvalószínűbb esetei legyenek. * Alsótiszavidóki Vízügyi Igazgatóság, Szöged. Ha valamely |

0 várható érték megállapításához rendelkezésünkre áll a |

x, |

2, . .. |

n értékű elemekből álló minta, amelynek eltérései a várható értéktől £

0, !

2-!b> ••• £»-£o> vagy rövidebben írva: l

v A

2, ... ).

n, és akkor, ha a minta elemszáma, n elegendően nagy, és feltételezhető, hogy a minta eloszlásfüggvénye a normális eloszlásfüggvény, a várható értéktől számított valamely A,- eltérés valószínűsége: _

r2 . j2 P

i=K-e i (2) amelyben az ismert állandókat a K ós c kifejezésekbe vontuk össze. Meghatározva a A

y, A

2, ... 7.

n eltérések p

v p

2, . . . Pn valószínűségét, ha ezek az eltérések egymástól függetlenek, úgy az eltéréek öszszességének valószínűsége a most meghatározott valószínűségek szorzata: P=Pi-P2' • • • -p

n=K

n-e (3) A p érték akkor veheti fel maximumát, ha a negatív kitevőjű tényezőben a kitevő zárójelében szereplő összeg minimális. Az eltérés-négyzetek minimalizálásának elvét Gauss mondta ki. Ez a híres „legkisebb négyzetek" elve. Alkalmazzuk tehát a továbbiakban ezt az elvet. Ha már ismernénk az a-val jelölt mércekapcsolati együtthatók véglegesnek elfogadott értékeit, a megtörtént árhullámok x

l jellegadatainak az (1) egyenletbe való behelyettesítése után nem a ténylegesen észlelt y

v y

2, . . . y

n értékek adódnának ki, hanem ehelyett az ezektől némileg eltérő y

o

v y

0

2, ... y

o

n értékek. Legyen a megtörtént és az általunk figyelembe veendő árvízi esetek észleléssel meghatározott értékrendszere: y

l

t x

i

x, x

1

2, . . .x

im Vi' ®21> *^22> • • yn> Xni, Xn

2, . . .Xnm Minthogy összeadó — egységnyi x-szorzójú — állandó is van, ennélfogva az a értékek száma m-f 1, a meghatározásukhoz használt értékrendszerek száma pedig n. Helyettesítsük az x-szel kifejezett független változókat az (1) egyenletbe: 2/01 =

ai

xll~i~

a2

xl2 r • • • y02 ~®l

a'21-l

_®2

a'22 • • • (ImXom ~f ®m + i y^n =

=®]2

;tti-f • • • "f ttm3Jnm~fiijn.fi (4) Az y

0j—yj (j= 1,2, . . .n), azaz a számítható és az észlelt előrejelzési értékek közötti különbség adja azt a A/ eltérést, amelynek négyzetösszegét minimálissá kell tennünk. A különbség képzése érdekében vonjunk ki a (4) egyenletrendszer minden