Hidrológiai Közlöny 1977 (57. évfolyam)

9. szám - Dr. Kontur István: A lefolyás általános lineáris kaszkád modellje

Hidrológiai Közlöny 1977. 10. sz. 404 A lefolyás általános lineáris kaszkád modellje Dr. KONTUR ISTVÁN* A tanulmány a lefolyás leírására a kaszkád modellek diszkrét állapotú megfogalmazását tartalmazza. A vízmozgást a vízrószeeskék bolyongási modelljével lehet helyettesíteni. A lineáris tározó sorozat leírható a valószínűségi modellel (véletlen bolyongás). Az egyirányú (lefelé) és a kétirányú (lefeló-felfelé) bolyongási modell a víz összegyülekezésének dombvidéki ós síkvidéki eseteit reprezentálja. A modell továbbfejlesztése a sorba és párhuzamosan is kapcsolt tározó esete. Bemutatjuk, hogy az ismert Nash és Doge féle modellek miként reprezentálhatok ebben a rendszerben. Végül rávilágítunk arra, hogy modellünk a diszkrét állapottér leírás speciális esete. 1. Bevezetés A lineáris tározó és csatorna modelljei jól ismertek a hidrológiai rendszermodell körében [2, 3, 7, 8, 11]. Más oldalról felvethető a hidrológiai rendszer ún. makró hidrológiai modellje [6]. Ez azt jelenti, hogy egyetlen vízrészecske útját követjük (képzeletben), ami egy bolyongási modellhez vezet, A vízrészecske különböző állapotokban fordulhat elő, különböző bolyongási utakat járhat be. A bolyongási út képi megjelenítésére a gráfok igen alkalmasak, [5] és közel állnak a mérnöki, hidrológiai szemlélethez. Lineáris valószínűségi törvények esetében, ha egyetlen vízrészecske mozgási törvényszerűsége megegyezik a sokaság mozgási törvényszerűségével, akkor N számú vízrészecske (S térfogat) mozgástörvényeit is nyomon tudjuk követni. A bolyongási modell matematikailag átmenetvalószínűségi mátrixszal írható le [9], megjelenítése gráf ábrával történhet. A hidrológiai fizikai valóságot tározók sorozatával helyettesíthetjük, ezek képezik az állapotokat, amelyek tehát diszkrétek [4] ; továbbá az időt is diszkretizáljuk azaz a vízrészecske, csak t= 1, 2, ...stb. időpontokban változtathatja az állapotát. At = állandó. Az idő diszkretizálása kézenfekvő, mivel a hidrológiai rendszer észlelése is általában diszkrét [2]. Az elektronikus számítógépek használata szempontjából is előnyösebbek a diszkrét rendszerek. A vízrészecske bolyongási gondolatmenete, végeredményben jól rögzített determinisztikus rendszerhez vezet. A tanulmány általánosítja a tározó sorozatok modelljét és rávilágít, hogy a hidraulikai viszonyokat az állapotátmenetvalószínűségi mátrixba a modell jellegének megfelelően lehet beépíteni. így már maguk a mátrixok is vizuális képet adnak a rendszerről és a víz áramlásának jellegéről. A mátrixok elemeinek meghatározásához azt kell megadni, hogy a választott időegység (At) alatt a tározott vízmennyiségnek hányad része kerül át a következő tározóba. Vagy ami ugyanaz, arra a kérdésre kell választ adni, hogy mi a valószínűsége annak, hogy egy vízrészecske At időegység alatt átkerül az egyik tározóból a másikba. A tározó rendszerből távozó vízhozam idősora egyértelműen meghatározható a bemenetek alap* BME, Vízgazdálkodási és Vízépítési Intézet. ján. A tározó sorozat mint egy idősor generáló eljárás is reprezentálható [1, 2, 11]. A matematikai levezetések során felhasználtuk Rózsa P. Lineáris algebra c. könyvét [9]. 2. Lineáris csatorna modell A lineáris csatorna modell tulajdonképpen az impulzus változatlan tovább vezetését végzi, időkésleltetést visz a rendszerbe, de a tározásra jellemző ellapulás (diszperzió) nincsen. Legyen Sj(t) a j csatorna állapota, a t időpillanatban, ahol állapot alatt csatornán ekkor átvonuló vagy ott tározott vízmennyiséget kell érteni. Az /Si(í), S

2(t),. . .S

n(t) állapotokat s

( sorvektorban foglaljuk össze, akkor az s

(_i állapotból az s< állapot az alábbiak szerint számítható: s

( = s<_i K Részletesen kiírva: [£i(<),£

2(<) S

n(t)] = (la) = [Ä

1(<-1),S

2(<-1) ,S

n(t- 1)] O 1 O O O 1 o 1 o (lb) Az időegységet olyan nagyságúra kell választani, hogy egy lépésben csupán egyetlen továbblépés történjék. A lineáris csatorna a tározó speciális esete, amikor egy-egy lépésben a tározó teljesen kiürül. yj(t)-ve\ jelölve a j csatornavonalból távozó vízmennyiséget yj(t) = Sj(t). A lineáris csatorna szakaszait &=1, 2, ... í időpontokban X], x

2, ... Xk, ... \t terhelések érhetik így az s< állapot: SÍ = So

• K' + 2 (2) k= 1 A K mátrix speciális tulajdonságából következik, hogy K' = 0, ha t>n, ezért csak az első n hatványt kell figyelembe venni. A lineáris csatorna és gráfreprezentációja az la és lb ábrán látható. 3. Tározó sorozat bolyongási modellje (Szabad összegyülekezés, dombvidéki eset) Jól ismert a vízgyűjtő leírásának modellje S = k-y (3) a lineáris tározási egyenlettel: S — tározás [L

3], y — a kifolyó vízhozam [L

3IT] és k — a tározási együttható [T\ Az időlépésközt egységnyire felvéve a továbbfolyó vízmennyiség: S\k = y. Alljon a tározó sorozat, kaszkád, n — számú sorbakapcsolt tározóból k\, k

2 k, k„ táró-