Hidrológiai Közlöny 1977 (57. évfolyam)
9. szám - Dr. Kontur István: A lefolyás általános lineáris kaszkád modellje
Dr. Kontur 1.: A lefolyás általános lineáris Hidrológiai Közlöny 1977. 9. sz. 405 zási állandókkal. Legyen a t időpillanatban az állapotváltozó az egyes tározókban tározott vízmennyiség: Sít, S 2 t, • • Sjt, • • • S n t, a t időpillanatban s(t) vektor. Aj tározó hidraulikai egyenlete a t időpillanatban: yjt=S)t\kj (4) A folytonossági egyenlet: Sjt = Sj,t_ i + yj-i,t~ í — yj,t-1 = Sj,t-1 + Sj-i,t-iqj~ í — qjSj,t_ i = = (1 — qj) • Sj,t-1 + qj-1 • Sj_i, t_i (5) ahol qj= 1 jkj. qj úgy fogható fel, mint valószínűség. Az Sj vízmennyiség kj-ed része távozik el, vagyis annak valószínűsége, hogy egyetlen vízrészecske eltávozik, éppen qj. A helyben maradás valószí nűsége pedig (1—qj mátrixos formában, sával: s, = s,_i-Ate) (6) A folytonossági egyenlet az SÍ állapotvektor felíráahol S( sorvektor, A mátrix pedig a r^-ből alkotott speciális mátrix: Rendszerünk lineáris, a szuperpozíció elve érvényes, így nem csupán s n induló állapot van, hanem az egyes tározókban X\X 2,k, . . .X nj víztérfogat kerül a k időpillanatban. Ezt x^-val jelölve a végső S; állapot: t = So-A'+ ^ xt-A'~ k (10) i = 1 1. ábra. Lineáris csaturna modell Puc. 1. Modejib AuueÜHoeo KaHaAa Fig. 1. Linear channel model Speciális esetben ha<7i = <7 2= ... =qj. .. =q n = q, akkor A(q) felírható az I egységmátrix, és a K Toepplitz típusú nilpotens mátrix összegeként: A(ff) = (l-i).I + grK (8) (A továbbiakban az A mátrix mellől a q jelölést elhagyjuk.) Az Sí = Sí_i A generációs képletet többször egymás után alkalmazva, ha a tározók állapota a <„ = 0 időpillanatban s 0 volt, akkor s t —s 0-A' (9) A fentiekből látható, hogy A 1 mátrix hatvány döntő jelentőségű. Nézzük ezért A m-edik hatványát A» = [(1-j)I + JK]« = m = X (11) »' = 0 A K mátrix nilpotens tulajdonságából (K" = 0) következik, hogy az összegezést elég csak nig végezni: n A» = 2 (12) A K nilpotens mátrix speciális tulajdonságából következik, hogy egyszerűen számolhatjuk az l tározóból a j tározóba átkerülő vízmennyiséget m lépés után (m időegység eltelte után), vagy ami ugyanaz annak valószínűségét, hogy a í = 0 időpillanatban az l tározóban tartózkodó vízrészecske milyen valószínűséggel tartózkodik t — m időpillanatban a j tározóban: P(rn) {lj) = (™^ {l-q ) m-j+lqjí ; (13) A tározók felülről lefelé vannak számozva és a felsőbb tározókból csak lefelé kerülhet a víz (visszaáramlás nincsen). Ez a tározó sorozat látható a 2a ábrán, a 2b ábra a gráfreprezentációt, a 2c ábra tározó sorozat, illet-
