Hidrológiai Közlöny 1974 (54. évfolyam)

8. szám - Szőllősi-Nagy András: Optimális előrejelző-függvény meghatározása a Wiener-féle extrapoláció elmélet alkalmazásával

3<i6 Hidrológiai, Közlöny 1974. 8. sz. IRODALOM [1] Ambrózy A.: Elektronikus zajok, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1972. [2] Amorocho, J. — Brandstetter, A. : Generalized Analysis of Small Watershed Responses, WSEP 1035. .Tune 1970. Dept. of Water Sei. and Engng., Univ. of Calif. Davis, California. [3] Arató M. : Bevezetés a sztochasztikus folyamatok elméletébe, Bolyai J. Mat. Társ kiadványa, Budapest, 1968. [4] Barrera, A.

— Perkins, F. E.: An extension of the role of linear system analysis in hydrograph theory, M. I. T

., Dept. of Civ. Eng. Hydrodynamics Lab. Rept., Massachusetts, Sept. 1967. [5] Bendat, J. S.

— Piersol, A. G. : Measurement and Analysis of Random Data, John Wiley et Sons, Inc., New York, 1966. [6] Csáki F. : Szabályozások dinamikája, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1970. [7] Csáki F. : Korszerű szabályozás elmélet, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1970. [8] Davis, R. C. : On the Theory of Prediction of Nonstationary Pi'ocesses, ./. of Applied Physics, Vol. 23, 1952. pp. 1047—1053. [9] Doob, J

. IJ. : Stochastic Processes, John Wiley et Sons, Inc., New York, 1953. [10] Eagleson, P. S. — Mejia, R.—March, F. : Computation of optimum realizable unit hydrograph, Water Res. Res. Vol. 2. No. 4. 1966. [11] Fodor Gy.: Lineáris rendszerek analízise, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1967. [12] Frey T. : Sztochasztikus folyamatok, BME. Vili. Kar Szakmórn. jegyzet, Budapest, 1971. [13] Guillemin, E. A. : Theory of Linear Physical Systems, John Wiley et Sons, New York, 1963. [14] Hino, M. : Analytic solution of Wiener—

Hopf equation for runoff prediction, Proc. IAHR XITI. Congr., Kyoto, Japan, 1969. [15] Hino, M. : Runoff forecasting by linear predective filter, J. HYD. DIV. Pr. ASCE, Vol. 96. No. HY3 March 970. [16] Hino, M. : Runoff forecasting by variable transformation, J. HYD. DIV. Pr. ASCE, Vol. 96. No. HY4 April 1970. [17] Ibbitt, R. I'. —

Kienitz G.: Tájjellemző ós kísérleti vízgyűjtők és a hidrológiában alkalmazott matematikai modellek, Vízügyi Közlemények, 1972/2. [18] Kisiel, C. C. : Transformation of deterministic and stochastic processes in hydrology, Proc. Int. Symp. IAS 11. Vol. 1. Fort Collins, Colorado 1967. [19] Kontur I. — Szöllősi Nagy A. : Auto-, és keresztkorreláció-függvények hidrológiai alkalmazása, Hidrológiai Közlöny. 1973/9—10. [20] Kósa A. : Variációszámítás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1970. [21] Lee, Y. W. : Statistical Theory of Communications, John Wiley et Sons, Inc., New York, 1961. [22] Lee, Y. W. : Contribui ions of Norbert Wiener to Linear and Nonlinear Theory in Engineering, in Selected Papers of Norbert Wiener, The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 1964. [23] Noble, B. : Methods Based on the Wiener— Hopf Technique, Pergamon Press, New York, 1958. [24] Quimpo, R. G.

: Kernels of Stochastic Linear Hydrologie Systems, Proc. U. S. — Japan Bilateral Seminar in Hydrology, Honolulu, Hawai, Jan. 1971. [25] Quimpo, R. G. : Structural Relation between Parametric and Stochastic Hydrologie Models, Proc. Int. Symp. on Mathematical Models in Hydrology, Vol.1. Part 1. Work. Ed. IASH Warsaw, 1971. [26] Schwarz, R. J.

—

Friedland, B. : Linear Systems, Mo Graw

—Hill Book Co., New York, 1965. [27] Szöllősi Nagy A. : A sztochasztikus folyamatok elméletének alkalmazása lineáris hidrológiai rendszerekre, BME Diplomamunka, Kézirat, Budapest, 1972. Szöllősi-Nagy A.: Optimális előrejelző-függvény [28] Vágás I. : Az árhullám elemzés átfolyás-elméleti módszefei, Hidrológiai Közlöny. 1969/6. [29] Vágás I. : Reológiai ós elektromos analógiák, önszabályozási valószínűség-elméleti modellek a hidraulika egyes tranziens folyamatainak jellemzésére, Hidrológiai Közlöny. 1 970/4. [30] Viscaino, A. — Bribiesca, J. : A Statistical Method to search for a Rainfall-Runoff Relationship, Proc. Internat. Hydrol. Symp. Fort Collins 1967, Vol. 1. Fort Collins, Col. [31] V. Nagy I. : Műszaki hidrológia, BME Szakmérnöki Jegyzet, Budapest, 1971. [32] Wiener, N. : Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time series, .Jolin Wiley et Sons,, Inc., New York, 1949. [33] Wymore, A. W. : A Mathemalical Theory of System Engineering, John Wiley et Sons, Inc., New York, 1967. [3 4] Zadeh, L. A. — Ragazzini J. R.: An Extension of Wiener's theory of prediction, J. of Applied Physics, Vol. 21. 1950. pp. 645—655. [35] Zsuffa I. : Vízfolyások árvízhozamának számítása, Szakmai Világirodalmi Beszámolók No. 13. VITUKI Vízügyi Tájékoztató Iroda, Budapest, 1968. Determination of (lie optimal forecasting function by applying (lie extrapolation theory of Wiener By Szöllősi—Nagy, A. The purpose of the paper is the determination of a function permitting forecasts to be made and missing data to be found at the minimum error. For deriving the method, the basic concepts of systems theory are reviewed together with the linear transformation of stochastic processes. The optimal forecasting function is defined as the function by which the expected value of the difference (17) between the discharges actually observed and predicted (18) is minimized ('Fig. /). For determining the optimal forecasting function the following assumptions are made

: 1. The processes of precipitation and runoff resulting therefrom are both steady, ergodic, stochastic in character. 2. The catchment system can be approximated by a time-invariant system with concentrated parameters and finite memory which can be realized physically. With the help of the covariance functions Eq. (17) can e rewritten into the form of Eq. (21). The optimum forecasting function li

0pt{t

) — the optimal weight function — minimizing Eq. (21) can be specified by applying 1 he principles of variation computation (Fig. 2). The integral equation of WienerHopf is attained eventually — Eq. (36). Writing the Wiener-Hopf equation into the discrete form of Eq. (39), the optimum forecasting function is found from the matrix equation (43). An analytical solution of Eq. (36) is also possible regarding precipitation as white noise. This assumption is valid for short periods (féw months), since the precipitation record does not contain then a period departing significantly from zero, as can readily be demonstrated by the criterion of Anderson. Consequently it is possible to express the auto-covariance function of the precipitation record by the Dirac-delta function according to Eq. (47). For the shape of the optimal forecasting function Eq. (49) is obtained. The programme for the RASDAN-3 type Soviet computer has been written in ALGOL (Table 2). The pi'ocesses for computing discrete convolution (Table 1

) and the covariance functions — see in [19] — have been incorporated into the programme. The method has been applied for predicting the discharge hydrograph of the Császárvíz Creek (Fig. 7). The errors of the forecast may be attributed to the assumption of linearity of the system. Consequently the accuracy of the method can be improved by filtering out the noise disturbing linearity.