Hidrológiai Közlöny 1973 (53. évfolyam)
11. szám - Dr. Goda László: Mennyi idő alatt hull le az átlagos évi csapadék
Déri J.: Hidrológiai folyamatok Hidrológiai Közlöny 1973. 2. sz. 51 vagy = /(*), = 0. (5) Megjegyezzük, hogy UeT, ahol T a vizsgálati időszakot, t az időt, ti pedig az i-edik időpontot jelöli. Az alábbiakban határozzuk meg a két folyamat egyiíttjárásának valószínűségét. E példa esetében két valószínűségi változó szereltei, amit gyakran így jelölünk: [Q(t) v Q(t).,] és azt mondjuk, hogv e kifejezés egy kétdimenziós valószínűségi változó. Most definiáljuk a két valószínűségi változó együttes eloszlásfüggvényét. Az előbbi jelölések felhasználásával a két valószínűségi változó együttes eloszlásfüggvényén a P[Q(t\< KQ(f)x, Q(t) 2 < KQ(t) 2] = = F(KQ(t) vKQ(t) 2), (6) ahol min K^t^< K^/)^ max KQ(t) t és min KQ{t). 2 < KQ(t) 2 < max KQ(t) 2 kétváltozós függvényt értjük, amelyet szokás a kétdimenziós valószínűségi változó eloszlásfüggvényének is nevezni. E kétváltozós függvény rögzített K.Q(t) 1 és KQ(t) 2 esetében a Qit^KQit), és a QW^KQV), események szorzatának valószínűségét jelenti. Az események szorzatának valószínűsége esetünkben az együttjárás valószínűségét jelenti, ami az alábbiak szerint írható fel: P{[Q(í) x <KO(Í),I • < KQm)=p. (7) A vizsgált probléma egyszerűsítése és könnyebb áttekinthetősége érdekében alkalmazzuk a 2. ábra b) és d) részein értelmezett kisvízi indikátor függvényeket. Ilyen feltételezés mellett a két folyón észlelt kisvízi eseményfolyamatok együttjárásának a valószínűsége a következőképpen írható le: (8) E kifejezés gyakorlati szempontból annak valószínűségét jelenti, hogy ugyanabban az időpont ban mindkét vízfolyás esetében az észlelt Q(t) v illetve Q(t) 2 vízhozamok kisebbek, mint a vizsgált időpontra jellemző K.Q(t) l t illetve KQ(t) 2 függvényértékek. A keresett p valószínűség (relatív gyakoriság) két időtartam hányadosaként adódik, vagyis Jp{[7(0i=i]-m=i]}=pp=T ahol T a teljes vizsgált időtartamot jelenti, t{ azokat a részidőtartamokat jelenti, amelyekre teljesül a (8) jelű kifejezés bal oldalán szereplő feltételrendszer; i= 1, 2, 3, ..., n a T időszak alatt észlelt egyidejűleg előfordult események száma. A kisvízi időszakok egyidejű bekövetkezése valószínűségének meghatározásával analóg módon számíthatjuk ki az árvízi események együttes bekövetkezésének valószínűségét két vízfolyás esetében. * * * Az idősorok közötti sztochasztikus kapcsolat jellemzésére szolgál a kereszt-korrelációs függvény is. A következőkben tekintsük a már említett 1. és 2. jelű vízhozam-idősorokat. A közöttük levő kapcsolatokat az alábbiakban definiált kereszt-korrelációs függvény írja le: R ( n(s)m-n») D(Z)D(y. (9) A (9) jelű képletben E a várható értéket, D a szórást, 8 = 0, 1, 2, ... paraméter a £ és r) közötti 0, 1, 2, ... egységnyi távolság. Az (1) jelű kifejezésben használt jelöléseknek megfelelően | = Q(t) 1, r)=Q(t) 2. Az n elemű minták alapján meghatározott tapasztalati keresztkorrelációs függvényt a 3. ábra b) részén mutatjuk be. A függvény ábrázolására a diszkrét pontokat összekötő görbét használjuk, megjegyezve, hogy a függvényt csak e pontokban értelmezzük. A sztochasztikus kapcsolatokat leíró keresztkorrelációs függvénynek igen nagy gyakorlati jelentősége van. Illusztráció címén említjük meg azt az esetet, amikor a két idősor közül az egyik rövid, vagy hiányos. Ebben az esetben a hosszabb idősor a, Autók orre/ácivs függvények 1921-1968 havi KÖB 14 S 3. ábra. A Duna és a Tisza autó- és keresztkorrelációs függvényei Puc. 3. Aemo- u npoMe.ncymomibie KoppeAHifuOHHbie (J)yw<i}uu pp. JJyHaü u Tuca Fig. 3. The auto- and cross correlation functions of the Danube and Tisza rivers
