Hidrológiai Közlöny 1972 (52. évfolyam)

9. szám - Korszerű eszközök, matematikai módszerek a területi vízgazdálkodás gyakorlatában (II. rész) - Kontur István: A Balaton vízháztartási elemeinek idősor-vizsgálata

38'S Hidrológiai Közlöny 1972. 9. sz. Korszerű eszközök, matematikai módszerek 3. Idősor vizsgálati módszerek Olyan idősorokkal foglalkoztam, melyek állandó időközii észleléseket, illetőleg adatokat tartalmaznak. (Például éves átlag értékek, havi átlag stb.) Az idősorvizsgálatnál első fontos megkülönböztetés arra vonatkozik, hogy a jelenséget az időben állandónak vagy változónak vesszük, tehát a kérdés gyakorlatilag úgy merül fel: fiigg-e a vizsgálat eredménye attól, hogy különböző kezdő időpontot választunk. A vizsgálat idővariáns lesz, ha a folyamat trendet, ill. az adatsor hosszához képest mérve nagy periódusokat nem tartalmaz. Egy idősor belső összefüggésének feltárásánál általában valamilyen kedvező hipotézis igazolását kívánjuk nyerni: például: az adatsor trendet, periódust nem tartalmaz, teljesen véletlen jellegű folyamat, vagy például többlépéses Markov-láncként kezelhető. Egyidejűleg több ellentmondó állításnak is. érvényt lehet szereznünk, különösen így van ez, amikor az adatsor hosszúsága a vizsgálat megbízhatóságát erősen lecsökkenti. Sajnos nem mindén eljárásnál szerepelnek a megbízhatósági kritériumok, illetve a konfidencia sávok. Tehát a következőkben különböző vizsgálati módszereket és számítási eljárásokat fogok leírni, anélkül, hogy valamilyen előzetes hipotézist tennénk. Későbbi összefoglalás eredménye az, hogy leírt számításokkal kapott értékek, függvények milyen módon értékelendők. a) A időkorrelációs f üggvény Idősor belső összefüggésének feltárására az első és legalkalmasabb számítási eljárás az autokorrelációs függvény. Lényege az, hogv a szokásos korrelációs eljárásnak megfelelően korrelációs kapcsolatot keres az idősor %. és (i + k). tagja között. A korrelációs függvény felírása igen változatos formában található meg az irodalomban [2, 3, 4, 5]. Általános fogalmazásban M = várható érték. Kifejtve az n hosszúságú adatsorra: n-k xixi + k i 1 '* = (-') " f n-k n-k I i=l j = l A fenti képletekben xi az át lagtól való eltérés éri ékeket jelentette. Ha eredeti értékkel számolunk az összefüggés az alábbi formában írható fel: n — k n — k n — k XiXi+k X; y^ x

i+k 2=1 i=l 1 = 1 n - k i'k n — k ÍÍ — k " V x\ (n-k)* ii — k 11 — k (3) i = 1 1 = 1 1 = 1 n — k (n — k) n-k i = 1 Számítható még r

k a:-, alábbiak szerint is: [5, 7] n-k 2 (Xi -Xi)-(Xi

+

k- X~iT

k) i — 1 >k =" oí • ffi-k(n -k - 1) (4) ahol Xi az adatsor 1-től (n — k)ig vett átlagértéke Xi

+k a &-tól n-ig értelmezett átlagérték, ugyanígy értelmezendő ai ós Oi+

k is. Ha a folyamat stacioner, akkor Xi azonosnak vehető Xi+fc-val, így a számláló n-k (5) c(k)=—— y xi-xi+k-x

2 n — k «•—* akkor lehetséges, hogy a fenti.határértékektől el fogunk térni, de ez nem lesz jelentős. Elektronikus számítógéppel végezve a műveleteket nem érdemes a közelítések alkalmazása, hacsak nem nagy mennyiségű számítás elvégzéséről van szó. Az autokorreláció megbízhatóságának ellenőrzésére Anderson [3] szerint használhatjuk a biztonsági sáv becslésére a CL(r

t)=1 n — k ]'n — k+1 n — k tv (9) VxxW = n — K i = 1 ha ez nem áll fenn, akkor n — k ?>**(*) = r S XiX

i + k + X*-X-Xi-X-Xi

+

i (6) n — k i — 1 A fenti sorozatösszeget kovaranciának is szokták nevezni. A (3) kifejezéssel számítva az ismert bizonyítások szerint — 1 +1 korlátozás érvényesül. Abban az esetben, ha számítási egyszerűsítés kedvéért valamilyen közelítést vezetünk be, például Xi = Xi

+IC vagy OÍ= ai

+k, az összefüggést, ha az eltérések normális eloszlás feltételezést megtartjuk. t

p & p valószínűségi szinthez tartozó standard normál eloszlásfüggvény függvényértéke. Az autokorreláció szórásértékére a l-rl ]/» —& (10) kifejezés ajánlható (Reznyikovszkij). Az autokorreláció megbízhatósága tehát igen erősen függ az adatsor hosszúságától és a k értéktől. Ezért Blackman és Tukey [3] azt javasolja, hogy a kjn hánya-