Hidrológiai Közlöny 1972 (52. évfolyam)

9. szám - Korszerű eszközök, matematikai módszerek a területi vízgazdálkodás gyakorlatában (II. rész) - Dr. Zsuffa István: Kisvízhozamok hidrológiai statisztikai vizsgálata

Korszerű eszközök, matematikai módszerek Hidrológiai Közlöny 1972. 9. sz. 397 2. ábra. A negatív kitevőjű exponenciális összejügcfés integrálási tartománya Komló* János útmutatása alapján Az integrál megfelelő felbontásával a 11. eloszlásfüggvény típus az alábbi képlettel jellemezhető: W(x)= l-e*'* 4-(A ÁM) (10) ahol Aj, A

2, a a paraméterek, pfl——j az ún. teljes gamma függvény i

1^ A (A

2a) pedig az ún. gamma eloszlásfüggvény. fí függvényről valamivel bonyolultabb számítások útján kimutatható, hogy valóban eloszlásfüggvény (monoton növekszik, értéktartománya 0-tól l-ig terjed, értelmezési tartománya 0-tól +oo-ig.) A megfelelő számítások szerint az eloszlásfüggvénytípus várható értéke szorasa: D(x) = 1 1 T

2T+ß \ 1 + 2/? (12) A két függvénytípus közötti kapcsolatot az alábbi módon rögzíthetjük: T(x)=H(x)+0(x)r[i-- r _ ^ (A* 2*) ahol H(x) a kezdőérték exponenciális eloszlásfüggvénye, (t>(x) az előzőekben bemutatott I. típusú eloszlásfüggvény. A II. típusú eloszlásfüggvény tehát a kezdőérték eloszlásfüggvényének és az I. típusú eloszlásfüggvény különböző gamma függvényekkel szorzott kifejezésének az összege. A középértékek és a szórások között az összefüggés szemmellátható. A megfelelő függvénytípus kiválasztásához a kezdőértékre vonatkozó statisztikai minta vizsgálata vezet el. Amennyiben a kezdőérték valóban konstansnak bizonyult, az exponenciahtásra vonatkozó hipotézis vizsgálata a felszíni lefolyásmentes időszakok hosszára korlátozódik. Ha a kezdőérték nem bizonyul konstansnak, első kísérletképpen fiktív kezdőértékkel az észlelt legnagyobb yi

0 értékkel kezdjük az adatsorokat (a szemilogaritmikus papíron az időben visszafelé e kezdőértékig meghosszabbítjuk adatsorainkat), és e fiktív kezdőértéktől számítjuk a lefolyásmentes időszakok hosszát. A rögzített értéktől számított időszakokra exponencialitás vizsgálatot végzünk. Az exponencialitás vizsgálatokat, a numerikus közismert módszer mellett, célszerű szemilogaritmikus hálózat segítségével grafikusan is elvégezni. Ha e vizsgálat szerint a lefolyásmentes időszakokra vonatkozó rendezett minta felrakott pontjai valamilyen irányú görbületet mutatnak, akkor alkalmasan választott x értékek hozzáadásával korrigálhatjuk. A korrekciót próbálgatással célszerű végezni. Elméleti meggondolásokkal kimutatható, hogy e korrekciós érték elvileg a vízfolyás összegyülekezési idejével egyezik. Az összegyülekezési idővel való korrekció természetesen Q

0 = konstans érték korrigálását is megköveteli. Amennyiben a fenti összetett vizsgálat alapján sem megnyugtató a 3.1. vagv 3.3. hipotézis alapján választott konstans kezdőértékre vonatkozó hipotézis, akkor a 3.2. hipotézisnek megfelelően exponenciális eloszlású Q

l

t kezdőértékkel dolgozunk és az Q

0 exponenciális eloszlásra vonatkozó hipotézist ellenőrizzük. Ennek elfogadása esetén a II. típusú eloszlásfüggvény használata indokolt. Az I. típusú eloszlásfüggvény használata esetén magának az eloszlásfüggvénynek a becsléséhez a következő utakon juthatunk el: 1. A (4) képletbe behelyettesíthetjük az a, Q

0 fizikai paramétereknek a vízhozamidősorból, a statisztikai mintából vett értékeit, ill. ugyancsak a statisztikai minta számtani középértékével becsüljük a kiindulást adó exponenciális eloszlás /, paraméterét: - _ 1 _ 1 Xl

_ M(x) ~T ahol V a lefolyás mentes időszakok számtani középértéke. 2. A vízhozamidősorból kiemelt legkisebb vízhozamok empirikus középértékének és empirikus, korrigált szórásának kiszámításával az (5) és (0) képletek felhasználásával az ún. momentum módszerrel is becsülhetjük a paramétereket: (13) , V D\x) P x M

2{x) Qo-+ D(x) c) \ M

2 M(x) M(x)(l + ß) (x) + 1 3. A maximum likelihood módszerrel a ß paraméterre az alábbi becslést adhatjuk: y

, ln Qmin ß=\n Q

04. Kettős logaritmikus papír felhasználásával valószínűségi hálózatot is alkalmazhatunk a grafikus eloszlástípus vizsgálathoz éppúgy, mint az eloszlásfüggvény vonalzóval történő meghúzásához. 5. A Gumbel féle korrelációszámítás ennél az eloszlástípusnál is alkalmazható, és amint Gumbel kidolgozta a szélső értékek eloszlásfüggvényére vonatkozó hálózatnak megfelelő Y(n) és a(n) táblá-