Hidrológiai Közlöny 1972 (52. évfolyam)
8. szám - Korszerű eszközök, matematikai módszerek
Korszerű eszközök, matematikai módszerek Hidrológiai Közlöny 1972. 8. sz. 329 d,F 1,00,60,6OA0,2A d(x), 1. ábra. A napi vízhozamok tartósaági görbéje, tapasztalati és simuló eloszlásfüggvénye Duna, Nagymaros. 1901—1966. augusztus Az F(x) függvény tetszőleges x abszcisszához tartozó ordinátája tehát annak az eseménynek a mindenkori P valószínűségét méri, hogy a Q vízhozam értéke a;-nél kisebb. Más szóval: F(a;) egy elvileg végtelen hosszú megfigyelési időszak alatt a Q,<Cx események tartami összegének és a teljes időtartamnak a hányadosa. Az F(a-) elméleti eloszlásfüggvény gyakorlatilag sohasem állítható elő, mindig is ismeretlen marad. A matematikai statisztika Glivenko-tói származó alaptétele viszont lehetőséget ad az F(ar) elméleti eloszlásfüggvény becslésére. Kimondja ugyanis [7], hogy a (2) szerinti F„(a;) tapasztalati eloszlásfüggvény az előállításhoz felhasznált — bizonyos feltételeket kielégítő - alapadatok n számának a növelésével az F(x) elméleti eloszlásfüggvényhez tart. A hidrológiai adatfeldolgozási gyakorlatban elterjedten alkalmazott — és a fenti kérdésföltevésben említett —, különböző (gamma, normális, lognormális, Gumbel-féle stb.) típusú ún. valószínűségi eloszlásfüggvények valójában az F„(x) tapasztalati eloszlásfüggvényekhez jól-rosszul illeszkedő, azokat „kisimító" görbék, amelyeket ezért — javaslatunk szerint — célszerű simuló eloszlásfüggvényeknek nevezni. Ez az elnevezés tudatosítja azt a tényt, hogy e függvények — a gyakorlati hiedelemmel ellentétben — semmiképpen sem azonosak a mindig is ismeretlen elméleti eloszlásfüggvénnyel; sőt általában még csak nem is jobb becslései annak, mint a tapasztalati eloszlásfüggvény. A matematikai statisztika alaptétele csupán a tapasztalati eloszlásfüggvényre vonatkozik; a simuló eloszlásfüggvényről nem mond ki semmit. A simuló függvény akkor lehet szintén jó becslése az elméleti függvénynek, ha jól illeszkedik a tapasztalati függvényhez. Ismeretes, hogy a simuló függvények jóságát eldöntő illeszkedésvizsgálatok — % 2-próba, Kolmogorov-féle eloszlásfüggvényen alapuló próba [2] stb. — valamilyen a simuló és a tapasztalati eloszlásfüggvény közötti eltérés értékelésén alapulnak. Ha tehát azt állítanánk, hogy valamely simuló függvény jobb becslése az elméleti függvénynek, mint a tapasztalati függvény, ellentmondásra jutnánk. A simuló függvények közül ugyanis az a legjobb, amely a legjobban illeszkedik a tapasztalati függvényhez. Minthogy azonban az utóbbihoz önmaga illeszkedik a legjobban, a legrosszabbnak mondott becslés egyben a legjobb is lenne. Az előadottakból az is következik, hogy a simuló eloszlásfüggvény semmivel sem tájékoztat bővebben vagy megbízhatóbban a vizsgált valószínűségi változónak a jövőben várható eloszlásáról, mint a tapasztalati eloszlásfüggvény. A simuló eloszlásfüggvények jelentőségét tehát korántsem az adja, mintha szabatosabbak, vagy az elméleti eloszlásfüggvény jobb becslései lennének, mint a tapasztalati eloszlásfüggvények, ill. a tartóssági görbék. Számos más olyan előnyük van viszont, amely célszerűvé és indokolttá teszi az alkalmazásukat [8]. Ilyen előnyök: — A simuló fügvények — a tartóssági görbékkel ellentétben — zárt képlettel adhatók meg s ezért matematikailag amazoknál sokkal könnyebben és eredményesebben kezelhetők. — A simuló függvények, következetesen azonos függ vény típus alkalmazása esetén, egységes, ill. összemérhető estrapolációt tesznek lehetővé az észlelt adatokon kívüli tartományban (vagyis az igen kis és az igen nagy valószínűségek környezetében). — Könnyű matematikai lehetőségük folytán a simuló eloszlásfüggvények paramétereik földrajzi és időbeli függésének vizsgálata révén, az adathiány-pótlás megbízható segédeszközei lehetnek [5]. 3. A mintaelemek függetlenségére és egyöntetűségére vonatkozó próbák Következő megjegyzéseim az — előbbiekben a tapasztalati eloszlásfüggvényeknél korántsem megbízhatóbbnak, számos gyakorlati szempontból viszont igen hasznosnak mondott — simuló eloszlásfüggvények előállításának alapjául szolgáló statisztikai minta ellenőrzésére vonatkoznak. Glivenko említett alaptétele — eredeti megfogalmazásában — felteszi, hogy az elméleti eloszlásfügg6000 x[m3/s] tartóssági görbe (x)=1-d(x), tapasztalati eloszlásfüggvéng f , [log(t->,)-m]' I 2f }mf lk (r ( kf ''ex( t-'' )dt Simuló eloszlásfúgg~ vények (azm,e,x 0 valamint a JL,k,x 0 paraméter 20í6 — adatból származik)
