Hidrológiai Közlöny 1971 (51. évfolyam)
12. szám - Dr. Vágás István: Árvízvédekezési döntéseink játék-elméleti alapjairól
560 Hidrológiai Közlöny 1971. 12. sz. Dr. Vágás I.: Árvízvédelmi döntéseink játék-elmélete A meghatározott követelmény még mindig túlzott. Ugyanis a várható és az annál kisebb értékek 2/3-nál nagyobb valószínűségű előrejelzése mellett egy további számköznyi vízálással együtt már 213 + 2/9 = 819 valószínűséget csak a gyakorlati bizonyosság feltételével vehetnénk számításba. c) Az időelőny növelésének szükségessége miatt gyengébben informált, ezért fokozottabb mértékben felkészülő védelemvezetés esélyei A védekezés sikerének esélyeit feltétlenül növeljük, ha az előrejelzésekben adotthoz képest fokozottabban készülünk fel az árhullám fogadására. Az r és f védekezési valószínűségi függvények számára (8) és a (9) egyenletekben körülírtaknál ekkor általában magasabb értékeket kell megállapítanunk. Számításainkhoz célszerű továbbra is az előrejelzési valószínűségek p és r] függvényeiből kiindulni, de azokat most a szükségnek megfelelően Ah, 2 -Ah.. . i. /l/í-val a nagyobb vízállások irányába tolhatjuk el az r és | függvények képzésénél. Hajtsunk végre pl. Ah értékű eltolást, és ekkor a (8) egyenletsor helyett a következő feltételeket kell kielégítenünk: (21b. ábra). r[h^{h á+Ah)} = l (12/a) r[(h á+Ah)rshsh m!l x} = p(h-Ah) (12/b) r[h^h ma x] = 0 (12/o) A (9) egyenletsor ennek megfelelően: = Erj{hjc ^ htiic) + —SAS |/<max 13b) 3 Ah # — r](h — Ah) (13c) 3/1/n 7 ( r Ah 11 --J AsS ^ ma x JJ = = r)(h)+ rj(h-Ah) •[" - ('—4)]= o (I3d) (13e) Külön magyarázatra csak a (13/d) egyenlet szorul. Ez ugyan már a (12/b) és (12/c) egyenletekből is következik, és erre itt így azért van szükség, mert A ma z=A,, m M és a | függvény h m:i X fölé nem tolható. Az utolsó Ah számközben érvényes és máiéi nem tolható r) n értéket az utolsó előttivel (JJ»_J) összegezve köszöböljük ki a |-ben keletkező „záróliibát". Ha így a | histogramm utolsó számközében a rj n+ rj n_i érték az utolsó előtti számközbeli sn_i-nél nagyobbra adódnék, az rj n értékű záróhiba úgy is elosztható, hogy j legyen. Ez, mint a védekezési valószínűség megtervezése általában, az árvízvédekező mérnök szabad választásától függ. Jelöljük továbbra is rj t-gvel a h á várható érték Ah számközéhez tartozó és az annál kisebb vízállásokra megállapított előrejelzési valószínűség-sűrűség értékek összegét (13/b) egyenlet, továbbá Vv % • • • ^M-nel a sorrendben következő zl/í-val 2 -zl/i-val, ... (n—1) -zl/i-val nagyobb vízállásokra vonatkozó valószínűség-sűrűségeket. (13 c és d egyenlet), s használjunk ugyanazon indexelést a megfelelő | védekezési valószínűségek jelölésére is. Ezzel a (13) egyenletsornál egyszerűbben írhatjuk fel összefüggéseinket: | x= 0; lí=i?i_i • • volna, úgy in= Vn+Vn-I, esetleg, 1,6 lldj e'_ t' ._ S)} — Sít—1 — Vn+ rjn—1+ Vn—2 M) Megalkothatjuk ezek után a J, jelű játékelméleti mátrixot a (10)-hez képest a következő különbségekkel : —- a mátrix sorainak száma a í x = 0 miatt egygyel kevesebb, mint az oszlopok száma, — a védekező számára „nyerő", tehát g= -f 1 értékű eset nemcsak az azonos indexszámú és rji érték találkozásánál található, hanem ezen kívül a |i + 1 és r]i értékek találkozásánál is, hiszen Ah értékű „eltolást" hajtottunk végre. vi n-i v 3 VÍ + i +i -í -í -í +i +i -i -í -í +i +i • rjn + l H]n -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 ... +1 + 1 J (15) A mátrix felírása után először ismét vizsgáljunk egy, az a) alatt tárgyalthoz hasonló „casus irrealis"-t: az egyébként kizárható, de számítási határesetként szolgáló 1 lb és E - t _ _ £ _ 1 „viszonylagos informálatlanság és egyenlő valószínűségű védekezés" esetét. A játék-elméleti mátrix minden elemének (6) szerinti szorzószáma: t = 1 n-(n—l) A g= +1 értékű elemek száma: 2(n—l); a g——7 értékű elemek száma: n(n—l)—2(n—l) = (n-2)•(n—7). A játék értéke: M = (4-n).(n-l) 1 + 4 (16) n-{n — l) n A játék „nyerő", azaz pozitív értékű, ha n<^4; „igazságos", azaz zérus értékű, ha n = 4; „vesztő", azaz negatív értékű, ha n^>4. Ez elég jó esélyt nyújt már a védekezéshez, különösen akkor, ha az n = 5, vagy n = 6 esetekben a „casus irreális" helyett a valóságoshoz közelebb álló előrejelzési valószínűség-eloszlás mellett a játékot viszonylag egyszerűen ,,nyerő"-vé, vagy „igazságos"-sá változtathatjuk. Kövessük a b) alatti számításokat n = 5 esetben, az | 2, valamint az rj 2= (?;„+ r; 5)=| 3= | 4— = | 5 alapfeltételek mellett (ezen belül: Í? 4= r] 5). A (15) mátrixnak a (6) szerinti kifejtésével, az adódó egyenletek megoldásával kapjuk, hogy r] 2 — —
