Hidrológiai Közlöny 1971 (51. évfolyam)
12. szám - Dr. Vágás István: Árvízvédekezési döntéseink játék-elméleti alapjairól
Dr. Vágás I.: Árvízvédelmi döntéseink játék-elmélete Hidrológiai Közlöny 1971. 12. sz. 559 mányunk kereteit, s itt most a célunk csupán az alapvetés. Előfeltételeink szerint minden S és rj valószínűség egyenlő, tehát 7/rc. A mátrix főátlójában tartalmazza a védekező nyereségét jelentő + J-eseket, hiszen itt csak a bekövetkező vízállás „kitalálása" és a rá történt felkészülés elismert, minden más eset / jelű vesztő stratégia: Vi + 1 -1 + 1 -l-l Vn - 1 - 1 + 1 (1(1) h[cm] A ((>) egyenlet alkalmazásával a játék értéke: M : (11) h[cm] hn^SSOcm h[cm] 2. ábra. Az árvízvédekezés valószínűség-eloszlás (r) és sűrűség függvénye ( £ ) u) A vízállás várható értékére való teljes felkészülésnél, b) A várható értéknél egy 20 cm-es egységei magasabb tetőző vízállásnak teljes biztonságú védelme esetén, r) A várható értéknél két 20 cm-es egységgel magasabb tetőző vízállásnak teljes biztonságú védelme esetén Abb. 2. Funktioncn der Wahrschchdichkeitsverteilung (r) und der Dichtc (i) bei der Hochwasserbekámpfung a) Bei der totálén Vorbereitung auf den zu erwartenden Wert des Wasserstands. b> lm Falle des totálén Schutzes gegen einen um '~0 cm über dem zu erwartenden Wert kulminierden Wasserstand, c) lm Falle des totálén Schutzes gegen einem um zweimal 20 cm fiber dem zu erwartenden Wert kulininierenden Wasserstand Ha n—1, akkor ugyan .)/= + !, és az árvízvédekező a nyertes, ez a feltétel azonban önellentmondó mert ez nem informálatlanságot, hanem determináltságot tükröz. Ha n = 2 és ígv = S 2 = r/,= )/.,= = 1/2, akkor M = 0 és a játék „igazságos", de nem áll fenn a min max = max min feltétel és csak az a játékos nyerhet, amelyik „keresztüllát" a másikon, így itt már vesztést kockáztatunk. Ha pedig n^3, a játék n növekedésével egyre inkább megközelíti az M— — 1 vesztő értéket, vagyis egyre hátrányosabb lesz. Ilyen feltételek között nem árvízvédekezhetünk. b) A magassági túlbiztosítást kerülő, jól informált védelemvezetés esélyei Vizsgáljuk meg, hogy a (10) mátrix érvényben hagyása mellett milyen előrejelzési valószínűségsűrűségek mellett tehető az árvízvédekező számára előnyössé, de legalább igazságossá ez a játék, n = = 3, 4... stb. esetekben. Az r^ valószínűség értékében vonjuk itt össze a h,-, számközéhez tartozó és az annál kisebb vízállásokra megállapított valószínűségeket. Az adott értelmezés után tegyük fel, hogy a védekezés valószínűség-sűrűsége már mindenben megegyezik az előrejelzési valószínűség-sűrűségértékeivel (ti — Í/,), tehát a védekezés kizárólag csak az előrejelzésre készül fel, jobban nem. Induljunk ki ezután abból, hogy az n=2 esetben a játék egyenlő valószínűségek mellett igazságos volt. Az 71 = 3 esetben tartsuk fenn az rj 2 = = s2 = Vs = £3 egyenlőséget, s keressünk olyan 77,= = valószínűséget, amelynél a játék igazságos marad. A (10) mátrix (6) egyenlet szerinti kifejtése nyomán kapjuk, hogy M = 0 értékű játék esetén rj 2 = = l\4 rj 1 és mivel íy 2=í/ 3, tekintettel az értékek egységnyi összegére: r; 1 = 2/3, 7]. 2= rj 3= 1/6. Az n = 4 esetben az n = 3 esetre vonatkozó megállapításainkat rj.,, rj 3, rj^ vonatkozásában hagyjuk érvényben és most olyan értéket keresünk, hogy .1/ =0 lehessen. A (6) egyenlet szerint kifejtett (10) mátrixnál t] 3= t] 4= )].,/4 helyettesítéssel az í^-re kapott egyenletből: 7^ = 2/3, r; 2 = 2/5, r\ 3= ry.,= 1/18. További n értékekre vonatkozóan a számítást hasonlóan kiterjesztve: ^, = 2/.?, r/., = 2/,9, T] 3=2/27, ...ijí=2\3\... v„_ 1 = J/3' ,1 = Vn." Azaz: minden megelőző valószínűség (kivéve az utolsó kettőt) a következőnek háromszorosa. Pontosabban: legalább háromszorosa kell, hogy legyen ahhoz, hogy a játék az árvízvédekező számára mégcsak nem is előnyös, csupán igazságos legyen S 2 „játékostársával", vagyis a természettel szemben.
