Hidrológiai Közlöny 1971 (51. évfolyam)
12. szám - Dr. Vágás István: Árvízvédekezési döntéseink játék-elméleti alapjairól
556 Hidrológiai Közlöny 1971. 12. sz. zott vízállási értékre szóló eló'rejelzések; jobbak az olyanok, amelyből a bizonytalansági tartomány számértékei, a bekövetkező helyzetek változatai, azok valószínűségei is kitűnnek. A valószínűség mértéke itt a természet akcióinak bizonytalanságain kívül saját információink pontosságát is természetesen tükrözni fogja. Kétségtelen, hogy ha árhullám kialakulásáról szerzünk tudomást, bármely vízmércére megadható olyan tetőző vízállás-érték (A mi n), amelynél kisebbeknek bekövetkezése az adott esetben nem lehetséges. Ilyen vízállás minden esetre az áradást megelőző völgyelési vízállás, de ennél nagyobb h m m érték is általában meghatározható. A h^=h ín m vízállásoknak a bekövetkezése tehát egységnyi valószínűségű. Elképzelhetők azután olyan magas tetőző vízállások is, amelyekre az adott árvíz során máinem szamithatunk. Ha h rna x ezek közül a legalacsonyabb, úgy zérus valószínűségű minden h^ — ^max vízállás bekövetkezése. A /i min = ^ = ^max feltételnek megfelelő vízállás-tetőzések esetében a h, vagy az annál alacsonyabb tetőző vízállások bekövetkezésnek a valószínűségét fejezze ki a p=p(h) (1) függvény, amely értelmezésénél fogva valószínűség-eloszlási függvény (h negatív irányítása mellett, és ahol így: 1 és p(h^)~>p{hj), ha h 2^>h v) 2 Az árvízvédekezés számára azonban a p(h) eloszlásfüggvényhez tartozó rj(h) sűrűségfüggvény ismerete is igen fontos. Ez a függvény, értelmezése szerint a p-függvény differenciálfüggvénye. Meghatározása során célszerű histogrammot szerkeszteni, hiszen dm-rendű magasságnál kisebbnek az árvízvédekezés gyakorlatában alig van jelentősége. A kereken „egy homokzsák" magasságnak tekinthető 2 dm-es lépcsők gyakorlati szempontból is, a könnyű számítás szempontjából is alkalmasnak mutatkoznak, így a vízszintes tengelyen ezt választhatjuk egységül (1. ábra). Az r] sűrűségfüggvény megmutatja, hogy adott vízállás-számköz középértékének, mint tetőzési értéknek a bekövetkezése az adott árvíz előrejelzési feltételei között milyen valószínűségű: 3 r,= r,(k k)=-^L (2) ahol lik a vízállás-számköz középértéke, és ezeket az egyébként Ah jelű számközöket egységnek teVízállás; h (cm): V. eloszlás; p (h): V. sűrűség; rj (h): • A független változó (li) negatív irányítása az általános matematikai kifejezésmódtól eltérő. Az árvízvédekezés nagyobb sikere (biztonsága) azonban feltétlenül a kisebb vízállásokkal van összefüggésben. Ezért tartottuk célszerűnek ennek a matematikailag egyébként komplementer-jellegű fogalomnak az elsődleges szerepeltetését mind a sűrűség-, mind pedig az eloszlás függvényeinkben. 3 Itt nyilván nem a sűrűségfüggvény definícióját változtattuk meg a negatív előjel használatával, hanem a h • változó számára választott negatív irányítás miatt az egyébként itt is pozitív előjelű differenciálás végeredménye adódott negatívnak. Dr. Vágás I.: Árvízvédelmi döntéseink játék-elmélete 1050 I h^-IOSOcm 1. ábra. Az 1970. évi tiszai árvízvédekezés során 8 —11 napi időelőnnyel Szeged vízmércéjére készült előrejelzés valószínűség-eloszlás (p) és sűrűség függvénye (y) Abb. 1. Wahrscheinlichkeitsverteilungs- (p) und Dichtefunktion (rj) der bei der Hochwasserbekampfung an der Theiss im Jahre 1970 für den Pegel Szeged aufgestellten Vorhersage mit 8—11 Tagé Vorlauf kintve (Ah=l): •ti Vi+ rj 2+ • • • + T] u- ^ rji— 1 Amennyiben t, (i A h \ h > |/imax — I, vagy hk > /imax, úgy r)(h) = 0; és ha h < l^min —j' vagy hk<^li m\ u, úgy szintén: >](h) = 0. Emiatt léteznie kell olyan h m értéknek is, amelynél rj(h m) maximális. A h m így a „legvalószínűbb" vízállás. Létezik továbbá olyan há érték is, amelyre nézve az JL. 270 i) = 0 egyenlőség, vagyis a sűrűségfüggvény elsőrendű momentumainak zérus összege képezhető. Ez a /iá érték az ún. várható érték 1. példa : Az 1970. évi tiszai árvízvédekezés során Szeged vízmércéjére vonatkozóan május 25-én 8—11 napi dőelőnnyel a Tisza és a Maros (utóbbi esetében részben csak csapadékaiban ismert) hidrológiai adataiból történt előrejelzés egyik részletesebb (később bizonyos elhanyagolásokkal egyszerűsített) változata a következő volt (1. ábra) [5]: 10G0 1040 1020 1000 980 900 940 920 0,00 0,03 0,19 0,46 0,73 0,91 0,98 1,00 0,00 0,03 0,16 0,27 0,27 0,18 0,07 0,02 'ímax = 1060 cm; hmin =920 cm; h m=990 cm; há = 986 cm A h m és há érték az esetek többségében nem esik meszsze egymástól. Ha azonban h m értéke lényegesen nagyobbra adódnék há-nál, döntéseinknél ezzel is számolhatunk. A p és az 7] függvény a „természet" stratégiáit jellemzi. Itt még azt az ellenvetést lehetne tenni, hogy ezeknek a függvényeknek a számszerű megállapítása is gyakran súlyos bizonytalanságokkal terhelt. Ez igaz. Későbbi játékelméleti következtetéseinknél ezért olyan kritériumok megállapí-
