Hidrológiai Közlöny 1971 (51. évfolyam)

12. szám - Dr. Vágás István: Árvízvédekezési döntéseink játék-elméleti alapjairól

Dr. Vágás I.: Árvízvédelmi döntéseink játék-elmélete Hidrológiai Közlöny 1971. 12. sz. 557 tására törekszünk, amelyek nem igénylik a ]> és rj függvényértékek pontosabb meghatározását. Árvízvédekezési döntéseink lehetséges változatait — minthogy a kellő időelőnyű előrejelzésből kapható tetőző vízállás-értékek determináltságának elvét feladtuk — szintén valószínűségi értelmezéssel kell ellátnunk. A töltésezett védvonalon a védőképességet jellemző koronaszint magasságáig — amelyhez kezdeti megállapodásunk szerint a megállapított biztonsági többletet természetesen mindig hozzászámítják, de amiről vizsgálatunk során nem veszünk tudomást — a védelem teljes biztonságú, azaz egységnyi valószínűségű. A védekezés során idejében véghezvitt töltés-magasítás is egységnyivé teszi a megfelelő magasságig történő védekezés eredményességének valószínűségét. Létezik tehát olyan A

s>

min vízállás érték, amelynél a hsh

v, mj

n vízállás tetőzések teljes biztonságú védekezést jelentenek. Elképzelhető olyan /t„

)ma

i vízállás is, amelyet, vagy amelynél magasabbat nem tudunk, esetleg nem akarunk védeni. A h^h

ViTna

x vízállások védekezési valószínűsége így zérus. Előfordulhat azonban, hogy a h

V!

mi

Dshsh

Víma

x tartományban a h vízállások fogadására csak egyes, előzetes, részleges hatékonyságú, a szükség szerinti később fokozható intézkedéseket teszünk. Ha pl. csak a védekezési tervet készítjük elő, esetleg módosítjuk, már ez is valamilyen fokú, a zérus védekezési valószínűségnél többet jelentő intézkedés. Olyan utasítást is adhatunk, hogv a védekezési anyagot készítsék elő, de ennek csak egy részét szállíttatjuk a helyszínre. A végcélt tekintve ez már valamilyen 1 valószínűségű védekezési intézkedés. Lehet, hogy ez önmagában nem elegendő, de ha később kiderül, hogy ennek sem mutatkozott szüksége, a már feleslegessé vált további munkákat még megtakaríthatjuk. Amint látható, a védekezéssel kapcsolatosan is meghatározható — a j>{h) előrejelzési eloszlásfüggvény értelmezéséhez hasonló (lásd 2 lábj.) r = r(l.) (3) védekezési valószínűség-eloszlásfüggvény, ill. ennek

3 alakú sűrűségfüggvénye, ahol a histogramni számközeit célszerű ugyanazon Ah beosztással értelmezni, mint az rj függvény esetében. Természetesen itt is: n é

1+Í,+ ..

í + I«= v |

i=

1 i = l A védekezés esetében inkább az r eloszlásfüggvény értelmezhető, a | sűrűségfüggvényre viszont a számítások során lesz szükségünk. Mielőtt az r és í függvényekkel részletesen foglalkoznánk, ismertetjük a Neumann-féle játék-elmélet továbbiak számára leglényegesebb megállapításait. A Neumann-féle játékelmélet néhány fontosabb megállapításának vázlatos ismertetése „A társasjáték az események meghatározott sorából áll, ezek mindegyikének véges számú kimenetele lehetséges. Bizonyos eseményeknél a kimenetel a véletlentől függ, azaz: ismeretes, hogy az egyes lehetséges eredmények milyen valószínűséggel következnek be, azonban senki sem képes ezeket befolyásolni. A többi esemény a játékosok akaratától függ. Azaz: ezen események mindegyikénél ismeretes, hogy melyik játékos határozza meg kimenetelét és hogy milyen más (korábbi) események eredményéről tud már döntése pillanatában. Miután az összes esemény ismertté vált, egv szilárd szabály alapján kiszámítható, hogy mennyit tartoznak kifizetni egymásnak a játékosok" [4]. A véletlentől függő eseményeket „sorsolásinak, a játékos akaratától függőeket pedig „lépésinek nevezik. A sorsolások hatása egyrészt egyetlen eredő sorsolássá vonhatcrössze, másrészt ki is küszöbölhető, ha a játékosok — mint ahogy nem is tehetnek mást — csak a számukra „várható érték" elérését tekintik céljuknak. így a „szerencsejáték" jellegből nem marad semmi: a játékosok lépései határozzák meg maradéktalanul az eredményt. Két játékos társasjátéka általánosságban „leképezhető" a következő elvre: Az S, játékos egy mátrix 1,2 n sorszámú sora közül válasszon ki egy a;-szel jelöltet. Az S

2 játékos válasszon ki ugyanannak a mátrixnak 1, 2,. . .m [nem feltétlenül kötelező, hogy n = m legyen] sorszámú oszlopa közül egy y-nal jelöltet, anélkül, hogy S, és S

2 egymás választását ismerné. A mátrix kiválasztott x sorához és y oszlopához tartozzék g(x, y) nyereség, amit az S

x játékos szempontjából értelmezünk. Az s

2 nyeresége itt értelemszerűen: —g (x, y), mivel kettőjük együttes nyeresége csak zérus lehet (egyik fizet a másiknak), s további résztvevő a játékban nincsen. A g (x, y) értékét két oldalról „rángatják"; S, a lehető legnagyobbá, S

2 a lehető legkisebbé akarja tenni, úgy, hogy Sj csak az x változó, S

2 pedig csak az y változó felett rendelkezik, közben viszont a másik változó ellenfele által választott értéke is befolyásolja nyereményét. Az S

( játékos nyilván olyan x-sorszámot fog választani, amelyben, az S

2 játékos által befolyásolható és a nyereségét minimalizáló y-oszloprendszámok választására is tekintettel, a nyereség-minimumok közül — amely előjelét tekintve számára már esetleg veszteség is lehet — a maximálisat találhat ja. Nyereségének ez a max^miiiy g(x, y) érték az alsó korlátja. Az S

2 játékos hasonlóan gondolkozik: ő természetesen azt az oszlopot választja, amelyben az S, szempontjából értelmezett nyereség-maximumok közül a minimumot: min

;

/max,

: g(x, y) értéket találja. Ez S, nyereségének az alsó korlátja. Ha a játékszabályok szerint a nyereségek olyanok, hogy max.

tmin

w g(x, y) = min;,max

x g(x, y) = M (5) feltétel fennáll, mind a két játékos egyenlően magas intelligenciája esetén a játék értéke M. A Neumann János által kimondott (5) egyenlettel kifejezett tétel azonban az ún. tiszta stratégiák