Hidrológiai Közlöny 1970 (50. évfolyam)
9. szám - Dr. Vágás István: Önszabályozó átfolyásos rendszer-láncolatok valószínűségi jellemzée
Dr. Vágás I.: Önszabályozó átfolyásos rendszer-láncolatok Hidrológiai Közlöny 1970. 9. sz. 409 A (9) egyenletsor általános tagjának integrálásából <á-val történt egyszerűsítés után még felírhatok az alábbiak is: Vm-M-UtíS- (k= 1,2, 3, ...) r(k) r(k+i) es v 0(t)=i(t)-r t(i) (k=0) (20) Qv=<ii-yv (22) összefüggéssel határozható meg. Itt y v a permanens átfolyáshoz tartozó vízállásmagasság. Ezzel: q/-yp-l(t) = q ry(t)+f d y(t) át (23) Szorítkozzunk aö^y^ y p esetekre; ekkor a permanens vízmozgáshoz tartozó y v vízállás viszonyítási alappá tehető, és bevezethető a [9] yv Qv jelölés, amelynek értelmezése azonos a „valószínűség" értelmezésével, s a továbbiakban ezt a fogalmat valószínűség fogalomnak tekintjük. Bevezetve még a / _ VGM t á=—-qj Qv jelölést, amely tulajdonképpen a 0 és y p vízállásmagasságok közötti teljes tárolási térfogat feltöltődésének átlagos idejét jelenti, és a (23) egyenletben végzett qj-y v átosztással: t á.*f=nt)v(t) (24) ahol az 1 (t) az egységugrás függvénye. A most közölt integrál-összefüggésekből egyébként az alábbi fő szabályok következnek: 1. Bármilyen rendszámú Poisson-függvény ü és t közötti határozott integráljának értékét megkaphatjuk a t értékhez tartozó, a nullától a szóban forgó rendszámig összegzett Poisson-függvény értékek ti-szorosát az egységre kiegészítő számértékből. 2. Bármely rendszámú Poisson-függvény egy tetszőleges Miez tartozó értékét az adott és annál eggyel magasabb rendszámú nem-teljes és teljes gamma-függvények hányadosának különbségéből is meghatározhatjuk. Átfolyás a vízállástól lineárisan függő válaszfüggvénnyel A (4) egyenletben végzett Q v=q }-y helyettesítéssel : Q (t)=qj-y(t)+f-^f- (21) Vegyük még tekintetbe, hogy bármely Q(t.) ráhatási függvény megfelelő együtthatókkal szorzott egységugrás, vagy egységimpulzus függvények összegezéséből mindenkor előállítható, ezért kiindulásként elegendő ráhatási függvényként az egységugrás 1 (t) függvényét, ill. ezzel arányos függvényt vizsgálnunk. Legyen az egységugrás függvény szorzótényezője a permanens ráhatás Q p=const. vízhozam-értéke, amely, ha válaszfüggvény is válhatna belőle, a Minthogy az elemi átfolyásos rendszert láncolatba kívánjuk a következőkben foglalni, a most vizsgált esetre, mint kezdeti rendszerre vezessük be az 1 rendszámot: (25a Ez a differenciálegyenlet pj(<)-re megoldható volna, de erre most nincs feltétlen szükségünk. A jelölt megoldást, mint az 1. sorszámú rendszer válaszfüggvényét (output) vigyük ráhatási függvényként (input) egy 2. sz., az előzővel egyébként mindenben azonos rendszerbe. Ebben a rendszerben adódó válaszfüggvény p 2(í)> így: (25b) Ez tovább vihető (ráhatásként) egy 3. sz. rendszerbe, majd az ehhez láncolt további azonos rendszerekbe. Általános, k sorszámú rendszer esetében: (25c) A (25) egyenletek differenciálegyenlet-rendszert alkotnak. Észrevehetjük hasonlóságukat a Poissonfüggvényekből alkotott (9) egyenletrendszerrel, s ez a (25) egyenletrendszer általános megoldása után részleteiben is ki fog tűnni. A megoldáshoz vezessük be [4] az s»(<) = pt(í)-e / < (26) segédfüggvényt, amelyet differenciálva, s egyúttal a (25/c) alattiakat is felhasználva az BÍ(í) = y~.p h(t) + pí(«)] • e'/'rf = ~. P*-1 (it).é< 1* = = —-s*_i (t) Iá (27) összefüggéshez jutunk. A (25/a)-ból látható, hogy az indexelést értelemszerűen kiterjesztve tulajdonképpen p 0(í) = l(í), vagyis: s 0(t) = e ll t* (28) Az egységugrást nem írtuk ki, de értelmezésünk csak 0 szerinti. A (27)-ből, k—1 helyettesítéssel adódik: 7 r l r 8l(0 =77' J s° {t )' á t=k' J e' l, áá t=L e' l, i1o= 0 0 = (e' t d-l) (29) A k = 2 helyettesítéssel felhasználva a (29)-et is: = f M'Mf (e"' í-l)-át = o o
