Hidrológiai Közlöny 1970 (50. évfolyam)
9. szám - Dr. Vágás István: Önszabályozó átfolyásos rendszer-láncolatok valószínűségi jellemzée
408 Hidrológiai Közlöny 1970. 9. sz. Dr. Vágás I.: Önszabályozó átfolyásos rendszer-láncolatok Kiírva: ~p *(') Pi-1 (0 p*-l(«) = -t d• p ',(0 Pi(0 PoW 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A (13) szerinti mátrix-szorzás elvégzésével, vagy a (9) egyenletsor két oldalának folyamatos összeadásával : P o(0=-fc-P£(«) Pi(0=-MPÍ(0+PÍ(')] p s(/)=-k-[p;(í)+PiP)+Pí(*)] pk(t)=-t A. 2 Pí(<) (14) í = 0 Az összefüggésekből kitűnik, hogy: 1. Bármely Poisson-függvény íá-val szorzott differenciálfüggvénye a szóban forgó rendszámú függvényt megelőző és azzal azonos rendszámú függvény különbségéből képezhető. 2. Bármely rendszámú Poisson-függvény a nullától az adott rendszámig összegezett Poissondifferenciálfüggvények ( — ti)-szorosából kapható. c) Az általános, lc-rendszámú Poisson-függvény határozott integrál-függvénye A (14) egyenletsor 0 és t közötti határozott integráljának képzésével fontos integrál-összefüggésekhez jutunk. Megjegyzendő, hogy a vesszős jelölésű differenciál-függvények integrálása az eredeti függvényt fogja ugyan eredményezni, de figyelembe kell vennünk, hogy a t—0 alsó integrálási határ behelyettesítésekor P 0(0) = 1, tekintve, hogy e°=l. Zérustól különböző pozitív egész k értékekre P k(0)=0. Ezek ismeretében: t J P„(0 • dt = - ti • [Po(*)]^ h • [1- P 0(*)] o t J p 1(t).dt= -fc-[P o(í)+Pi(03S= •=Í4.[2-P O(<)-PI(0] t J F k(t)-dt= = -t á. [P o(0+PM) + P 2(t) + ... + Pip)]^ =í < i.[2-P o(0-P 1(í)-...-P i(í)] = k =tAi- ^ p<(Í)1 í=0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 Pí (*) Pí-i (*) Pí—2(0 PáU) P í(0 P'o(') (13) Ha a t értéke minden határon túl növekszik: így: limP*(0 = 0 (k= 0,1,2, Y á- f P*(í)-df=l (15) Ezért, mindenfajta Poisson-függvény valószínűségi sűrűségfüggvény értelmezéssel látható el. A különböző rendszámú Poisson-függvények integrálját — mint ismeretes [4, 5] — a Gauss-féle gamma-függvénnyel is kifejezhetjük. A 0 és oo integrálási határok között az ún. teljes gamma függvény, 0 és véges t integrálási határok között pedig a t-re vonatkozó nem-teljes gamma függvény értelmezhető. [Ez utóbbi esetben a t értéket a gamma jel indexeként tüntetjük fel.] Minthogy tehát a definíciónak megfelelően: oo r(Jc+l) = k\= J f-e-'-dt es (16a) (16b) r,(k+l)= j t k-el-dt o mely utóbbiból: t J t l .e~' /ír f= • r,(k+1) (16c) o ennélfogva: J P l{ t).dt=^.l. f t*-el«*.dt = 0 0 =^.r t (k+i) (17) A (15) egyenletsort tekintve azonban: t k J p*(o-dí=*„.[!- 2Pi(/)]=|-r ((i+J)(i8) 4 = 0 es ígv: y P(i9) Aj 1 r(k+i) (19 ) i = 0
