Hidrológiai Közlöny 1965 (45. évfolyam)

3. szám - Dr. Karádi Gábor: Egyedülálló drén nem permanens szivárgási viszonyai állandó leszívás esetén

Hidrológiai Közlöny 1965. 3. sz. 131 HIDRAULIKA Egyedülálló drén nem permanens szivárgási viszonyai állandó leszívás esetén DR. K A R Á D I GÁBOR a műszaki tudományok doktora Egyedülálló teljes drén leszívásának hatására kialakuló nem permanens talaj vízmozgás Boussinesq d_ ( 9h} dx l dx) ~~k~dt (1) egyenlete alapján vizsgálható (h az x szelvényhez és a t időponthoz tartozó vízmélység, m' a vízadóképességi tényező, k pedig a szivárgási tényező). A differenciálegyenlet, mint látjuk parciális, nem lineáris, ezért ilyen formában gyakorlatilag megoldhatatlan a fennálló kezdeti és kerületi feltételek figyelembevételével. A matematikai nehézségek kiküszöbölése érdekében ezért első lépésként linearizálnunk kell az egyenletet. Ennek érdekében új változót vezetünk be : U = H

2— h

2 H

2 A

2' (2) ahol H a talajvíz mélysége természetes állapotban, h a leszívás után kialakuló és időben változó vízmélység a tetszőleges x szelvényben és h

0 a drénben a leszívás után kialakuló állandó vízmélység. Megszorozva az egyenlet mindkét oldalát A-val, majd a baloldalon a differenciálj el előtt álló h-t a mozgás teljes tartama alatt állandónak véve, vagyis h huz minden t > O időpontra, az új változó behelyettesítésével kapjuk : hköz-k d

2U 9U m dx

2 91 Az ily módon linearizált differenciálegyenletet az alábbi kezdeti és kerületi feltételek figyelembevételével kell megoldani : Kezdeti feltétel: a) ha t <[ O, h = H, minden x-re ; Kerületi feltételek : b) ha x = O, h = h

0, minden t > O-ra ; c) ha x = oo, h — H, minden t > O-ra. Az újonnan bevezetett új változó alkalmazásával ezek a feltételek így írhatók fel : a) t < O b) x = O c) X = cc A megoldást az [7 = 0; <7 = 1; U = 0 ; minden a:-re ; minden t > O-ra ; minden t > O-ra. V • 2 Yat dimenziónélküli változó függvényként igyekszünk megkeresni, ha a-val az hköz-k a = állandót jelöljük. m Tehát U = Í(

V). (3) Helyettesítsük most ezt a függvényt (3)-ba, figyelembe véve, hogy dU 91 ~~ 2 t es dx

2 ^ X

2 Ennek megfelelően az új differenciálegyenlet 0" + 2i]0' = 0, az alábbi kezdeti és kerületi feltételekkel : a + c) ha rj = oo, 0 = 0; b) ha rj = O, 0 = 1. Ha 0'-t W-vel helyettesítjük, egy elsőrendű szétválasztható egyenletet kapunk, amelynek megoldása : f = 0' = Cer"

2A második integrálás révén a 0 = C

l f e~'i

2dr) + (4) o egyenlethez jutunk. A Cj,és c

2 integrálási állandókat a kezdeti és kerületi feltételekből kapjuk meg. A b) kerületi feltételt helyettesítve (4)-be : o 1 = C

l f e-i

2drj + c

2, vagyis c

2 = 1. Az a c) feltételek helyettesítése révén a c

x állandó értékét kapjuk meg, mivel = c

1 | e i

2 drj + 1 illetve | e~i~ dr] o Az állandók behelyettesítésével a 0 függvény végleges alakja a következő : <i I" e~i

2 dr] 0=1- ° e-i* dr]