Hidrológiai Közlöny 1964 (44. évfolyam)

5. szám - Vágás István: A Bolyai-geometria hidraulikai jelentésének igazolása euklideszi modellen

208 Hidrológiai Közlöny 1964. 5. sz. Vágás I.: A Bolyai-geometria hidraulikai jelentése A CK-modell hiperbolikus síkra történő transzformálása során T, és T

2 a végtelenbe jut. T

3-nak mint tartálynak ábrázolása külön nem szükséges, mert az általa létesítendő vízszínvonalakat a duzzasztógát állítja elő a vízfolyásban. Ezáltal megkaptuk a duzzasztóművel megemelt szintű vízfolyások síkáramlási képét (2b ábra). A transzformáció természetéből következően a duzzasztást vízszínvonalakat Bolyai-értelmezésű párhuzamos ,,egyenesek" ábrázolják, amint ezt a [2]-ben más módszerrel is igazoltuk. Ez a transzformáció azonban csak a duzzasztási vízszínvonalnak arra a szakaszára vonatkozóan lehet teljesen helytálló, amelyen belül a fajlagos vízszállítóképesség (K) értékének változásától közelítésben eltekinthetünk. Kiegészítésül megjegyezzük, hogy a valóságban függőleges kutak vagy duzzasztóművek CKmodellbeli képe — ellentétben az ábrákon szemléltetés céljából berajzolt alakzatokkal — általában nem függőleges, sőt az egyenestől is eltérhet. Ez azonban eddigi eszmefuttatásaink műszakilag hasznosítható eredményeit mindaddig nem érinti, ameddig a hiperbolikus síkon értelmezett vízszínvonalak esése (lejtési szöge) elegendően kicsiny marad ahhoz, hogy az esést kifejező hajlásszög sinus függvénye a gyakorlat által megkívánt pontosság igényein belül még helyettesíthető a tangens szögfüggvénnyel. A hidraulika gyakorlatában ez a helyettesítés az előforduló talajvízszínsüllyesztési vagy vízszínduzzasztási esetek döntő többségében megengedett. Eszerint a Bolyaigeometria tételeinek az adott határokon belüli talaj vízszínsüllyesztés-, illetőleg vízszínduzzasztáselméleti alkalmazása ellen nem emelhető kifogás. összefoglalás Tanulmányunkban szemléletes hidraulikai értelmezést adtunk a Bolyai-geometria Cayley— Klein-féle euklideszi modelljének (1. és 2. ábra). Az említett modellből geometriailag igazolható [1] transzformációk útján eljuthatunk mind a talajvízszínsüllyesztés, mind pedig a vízszínduzzasztás jelenségének Bolyai-geometriai segítségével történő leírásához. Ez újabb bizonyítéka a Bolyaigeometria említett két hidraulikai alkalmazása jogosult voltának. IRODALOM [1] Bolyai János: Appendix. (Kárteszi Ferenc bevezetésével, megjegyzéseivel, kiegészítéseivel.) Akadémiai Kiadó, Budapest, 1952. [2] Vágás István : A Bolyai-geometria vízszínduzzasztáselméleti vonatkozásai. Hidrológiai Közlöny, 1962. 1. [3] Vágás István: A Bolyai-geometria talajvízszínsüllyesztés-elméleti vonatkozásai. Hidrológiai Közlöny, 1962. 5. JIOKA3ATEJlbCTBO rH^PABJlHMECKOR CYIHHOCTH TEOMETPHH BOflH HA MO^EJIM EB' KJIH^A H. Bazarn ABTOP B FLBYX CTaTbflx, HanncaHHbix B rnflpo.iornHecKOM >KypHajie 1962-ro ro.ia n3/;aHiiíi, aoKa3aji, MTO noflnop ropii30HTa BO^M H noHioKemie ypoBHH rpyHTOBbix BOA MO>KHO paCCMaTpilBaTb B reOMeTpHMeCKOH cHCTCMe Bojni [2, 3]. B aaHHoii CTaTbe noKa>KeM, MTO reoMeTpiiMecKiiM noHHTiiflM MOflejieíí, H3r0T0BjieHHbix no cncTeMe reoMeTpim E051H, MO>KHO npujjaTb niflpaBjiHMecKoe ncTOJiKOBaHiie n aajiee onpeflejieHHe noTepb Hanopa na Moaejin MOWHO nepeHec™ Ha Teopmo noanopa i'0pii30HTa BOflbi H noHHweHna rpyHTOBbix BOA nyreM REOMETPIIMECKHX Tpanc^opMawiií ((Jjnrypbi 1 H 2). 3TO SlBJlJieTCH HOBbIM — MHCTO reOMeTpiIMeCKHM flOKa3aTEJIBCTBOM Toro, MTO reoivieTpiiji BOÍIII HMEET MecTa H npu onncaHMii rn,npaB.niiMecKiix iiponeccoB. no nojioKemno floi<a3aTejibCTBa noHimeHHbie ypoBHH rpyHTOBbix BOfl (t})Hr. 1) MoryT CMiiTaTbCfl „acCHMnTOTHMeCKHMH" IiapajUiejlblIblMH JHIHIIÍIMH, HCTOJIbKOBCHHbi.MH BOBH. Ha (jjnrype 1 MO>KHO BHaeTb reoMeTpiiMecKyK> KapniHy nponecca noHHweHHH ypoBHH rpyHTOBbix Boa, KOTopyio MO>K6M TpaHcnopTnpoBaTb na Moaejib K3HJIH—KjieÜHa, noKasauHbifí Ha (jmr. 1, h TpaHcijiopMiip0BaHH0n reoMeTpiiMecKoii CHCTEME MO>KHO npn/iaTb H rnapaBJiHMecKoe 3HaMeniie. Ha MO/iejiH Jiio6oii TOMKe cooTBeTCTByeT HenoTopasi TOMKa, a nioSon npHMoft HeKOTopayi npnwaH. 0,i.HaKO nepeceMeHi-ie npjiMbix npeacTaBnjiioTCfi BHyTpH Kpyra K, TpaHciJiopMnpyioinero öecKOHCMHO flajieKne TOMKH B i<oHeMHocTb. np>iMbie, oőo3HaMalomne napajijiejibHi.ie JIHHHII rio Boán, nepecei<aioToi Ha OKpyHCHOCTH K Ha MOflejlH. npu TaKOM HCTOJlKOBaHHH MO>KHO BimeTb, MTO na MOflejin KSHJIH—KJieiiHa (<{)IIR. 1) — KOTopoíi npHflajin ii rii,ipaBjiiiMecKoe 3HaMeHiie — K npjiMOH, xapaKTepn3yiomeíi HEKOTOPBIII ypoBeHb, MO>KHO npuBecTii H dee napajiAeAbHbie npaMbie Mepe3 Jiioöyio TOMKy, pa3MemeHHyio BHe Hee, cornacHO ímecTHOií aKCHOMe BOÍUI. Paccy>K,neHiie ,noKa3aTejibCTBa no noanopy r0pH30HT0B Boau — noKa3anHoro Ha (jiiirype 2 — NOJIHOCTBRO aHajioriiMiio 3T0MY, BMECTE c TEM STO 03HAMAET nojiHoe aoKa3aHiie nojio>KeHiiH, nocTaBjieHHoro ÍUIH «oi<aSATEJIBCTBA. Demonstration of tlio Hydraulic Signiíicance of Bolyai's v Geomeiry in an Euclidcan Model By. 1. Vágás The two papers published by the author in Vol. 1962 of Hvdrological Review demonstrated the fact tliat surface profiles of backwater and groundwater drawdown can effectively be intestigated in terms of the non-Euclidean geometry of Bolyai [2, 3). In the present paper it is demonstrated that the geometrical concepts involved in the Euclidean models which can be prepared from the system of Bolyai's geometry,can be given a hydraulic interpretation, and the examples of head loss calculations investigated in the model can be transferred with the help of geometrical transformations to the theory of backwater curves, or groundwater drawdown (Figs. 1. and 2). An additional, purely geometrical demonstration is thus given for the correctness of applVing Bolyai's geometry to the deseription of hydraulic phenomena. It was to be demonstrated that the surface profiles produced from each other by drawdown (Fig. 1/b) can be regarded as „asymptotical" parallel lines as defined by Bolyai. As will be perceived from Fig. 1/6 the geometrical picture representing the process of groundwater lowering can be transformed to the Cayley—Klein model shown in Fig. l/a, and the transformed geometry can be interpreted in terms of hydraulics. In the model and in the transformed system the features corresponding to points and straight lines are indeed points and straight lines, The intersection of the straight lines, liowever, is represented by the intersection within the k cirele by which infinitely distant points are transformed into finity. Straight lines denoting parallels according to Bolyai's definition intersect each other in the model on the circle k. With this interpretation it will be perceived that in the Cayley—Klein model (Fig. 1/a), which can be inteipreted hydraulically, two parallels can be drawn through any external point to a straight line representing a surface profilé, which is in agreement with the famous axiom of Bolyai. The approach to the demonstration relating to the theory of backwater curves is entirely similar to the former. This, liowever, may be regarded as full corroboration of the statement to the demonstrated.