Hidrológiai Közlöny 1962 (42. évfolyam)
1. szám - Vágás, I.: A Bolyai-Geometria vízszínduzzasztás-elméleti vonatkozásai
44 Hidrológiai Közlöny 1962. 1. sz. Vágás I.: A Bolyai-geometria vízszínduzzasztáselmélete Q.- consr. a III d, in d, III d, ni d+ 9. ábra. Különböző magasságú duzzasztások vízszínvonalai azonos vízhozam mellett. A duzzasztási vonalak elhelyezkedése, tulajdonságai a Bolyai-geometriában értelmezett ,,-párhuzamosság" jeltételeit látszanak kielégíteni 0ue. 9. JIUHUU nodnepmbix eopusoHmoe npu pa3Hbix nodnopax u npu oduHanoebix pacxodax eodu. Kancemcn, imo pacnoAOJtceHueM u ceoücmeaMU nodnepmux AUHUÜ ydoeAemeopnemcH ycAoenue t,napaAAeAbHOcmu" e eeoMempuu Bonu Fig. 9. Backwater profiles pertaining to different dam heights and to identical discharges. The position and properties of the surface profiles appear to satisfy the criteria of ,,parallelism" as defined by Bolyai's geometry (i Duzzasztott vizszin l A d'__ TyX^WyP ' a s -permanens, B állandó seb. R vizszin K f 8 1 0 1 f y 0 = tgcx. = a J 0-T- tg£"t x=0 T = D 0 • | e~ X' h-dx o Azonban : D 0 • e = D, ezért : T = k • (D 0 •— D) (11) Ha x—* akkor D —> 0, így a végtelenbe nyúló síktartomány területe az exponenciális függvények improprius integrálhatóságának megfelelően véges érték : T = k -D 0. (12) A (ll)-ben a D 0 és I) értékeket helyettesíthetjük (9) alapján. így : T = k*(e 0—e). (13) A Bolyai-féle párhuzamosokkal és a paraciklushúrokkal meghatározott négyszögek szögeinek összege a négyszög egyik (általánosságban két) oldalának homorúsága miatt mindig kisebb 360°-nál. Ugyanis (5b ábra) : = 90" <p„ = 90° cpl = 90° — e 0 <p 4 = 90° + e z.<p 3fi0° (e 0 — e). ( defektus, 10. ábra. A t tengelyre szimmetrikus áttükrözés után a B ponton át az a-val két Bolyai-értelmezésű párhuzamos (d és d') szerkeszthető 0uz. 10. ílocAe cuMMempuiecKoü npoeKquu na ocb t MOMCHO nocmpoumb dee napaAAeAbHbix npnMbix no Bonu (d u d') Hepe3 moHKu B c npHMOű a Fig. 10. After symmetrical reflection about the t axis, two parallel lines (d and d') c.an be constructed to a 'through point B ZVM l — e' 1") (10) (14) 11. ábra. A Bolyai-geometria jelölései a duzzasztási vonalon 0ue. 11. 06o3HateHUH eeoMempuu BOHU na nodnopnoü AUHUU Fig. 11. Notations of Bolyai's geometry on the backwater mos egyenesek), valamint az általános, x távolsághoz tartozó D paraciklushúr által körülhatárolt síktartomány területe : (5b ábra j Az (e 0 — e) értékét ő-val is jelölhetjük szöghiányj. Ezt bevezetve : T = k 2 • ö. A négyszögek 300°-hoz képest fennálló szöghiánya a Bolyai-geometria lényeges tulajdonsága. Bizonyítás nélkül említjük meg, hogy (14) a Bolyai-geometriában minden háromszögre érvényes területképlet akkor, ha 6 a 180°-hoz számított szöghiányt jelenti. A háromszögek szögösszegének 180°-hoz képest fennálló szöghiánya a Bolyai-geometriának annyira alapvető tétele, hogy gyakran a párhuzamossági alaptételt is helyettesítik vele. Ennek megfelelően, a ő = 0 eset, amely csak a k — °° esettel egyidejűleg fordulhat elő, az euklideszi, geometria „különleges" esetében áll fenn. A ő < 0 eset a hiperbolikus geometriákban — amelyekhez a Bolyai-geometria is tartozik — nem fordulhat elő. A (11) ós a (14) egyenlet összevonása a k paraméternek újabb számításmódját adja. A T érték kifejezése és k-val való egyszerűsítés után : D„ — D k = —- (15) ő A Bolyai-geometria alaptételeit célunknak megfelelő mélységben áttekintve, rátérhetünk ezek duzzasztáshidraulikai alkalmazására. III. A Bolyai-geometria duzzasztáshidraulikai alkalmazhatóságának igazolása Az I. fejezetben foglaltak szerint az azonos Q vízhozamhoz tartozó d v d 2, • • • d n jelű duzzasztási vonalak egymást nem metszik és a duzzasztóműtől távolodva egymáshoz fokozatosan közelednek (9. ábra). Ha a B duzzasztási ponton átmenő duzzasztási vonalat a mederfenékre merőleges, s egyúttal a B ponton is átmenő t egyenesen, mint szimmetriatengelyen merőlegesen áttükrözzük (10. ábra), és így megszerkesztjük a d' vonalat, akkor a síkon két olyan — d és d' — vonalat találhatunk, amely az a vonallal kapcsolatosan az előző szakaszban rögzített két lényeges tulajdonsággal rendelkezik. Úgy tűnik, hogy az a vonal és a d vonalak viszonylatában teljesül a Bolyai-geometria alaptétele, ha ezeket a vonalakat Bolyai értelmezése szerinti párhuzamosoknak tekintjük. Állítjuk tehát ennek megfelelően, hogy (9. ábra) : a Hl Hl d 2 d n (16)
