Szent Benedek-rendi katolikus gimnázium, Győr, 1894

— 17 — e = o és c = — 4, végül az így nyert értékeknek a negyedik egyenletbe való helyettesítése után b = o értéket találjuk. Tehát a fentebbi érintőkkel meghatározott másodosztályú görbe egyenletének együtthatói : a = — 9, b = o, c = — 4, d = o, e = o, tehát maga a görbe egyenlete : — çu

2 — 4v

2 -f- I = o, azaz çu

2 -)- 4v

2 = i. Miután így a görbe egyenletét meghatároztuk, az előzők szerint akárhány érintőjét is kiszámíthatjuk. A két ponttá degenerálódott görbe vonal. Az általános másodfokú egyenlet taglalása közben a következő első lépésnél megállapítjuk azon algebrai feltételt, melynél az egyenleti soktag két elsőrendű kifejezés összeszorzásából származott, és ez esetet geometriailag is értelmezzük. Ilyenkor a következő azonos egyenletnek kell fennállani: a

nu

2 -f 2a

1

2uv -f a

2

2v

2 -f 2a

1

3u + 2a

2

3v -f a

3

3 = (

ai

u + bi

v + i)(a

2u + b

2v -f i). A másodosztályú görbék e fajának könnyebb magyarázása kedvéért a két elsőrendű tényező már olyan alakban szerepel, a milyennek a bevezető sorokban a pont egyenletét találtuk. Ez esetben a görbe vonal egyenlete: (

ai

u + biv + i) (a

2u + b

2v -f i) = o. Mindazon u és v értékek, melyek a soktagba helyettesítve értékét zérussá teszik, a görbe érintői. Ezeket pedig nyilvánvalóan e két különálló egyenlet gyökei szolgáltatják : a

tu -}- bjV —|- i = o, agU -f- b

2v -f- I = o. De az első egyenletből meghatározható minden egyenes egy ponton, az illető egyenlettel adott ponton, és a másodikból nyerhető valamennyi egyenes ismét egy ponton megy keresztül ; és ezek a vizsgált másodosztályú görbe vonal érintői, melyek összeségükben két pontot burkolnak be. Tehát az olyan másodfokú egyenlet, melynek soktagja két elsőrendű tényező szorzatából alakult, geometriailag két pontot jelent. Az ilyen egyenlet a két ponttá degenerálódott másodosztályú görbe egyenlete. 2