Lánczos Kornél 1893-1993 - Megyei Levéltár közleményei 15. (Székesfehérvár 1989)

Schipp Ferenc: A Lánczos-algoritmus

n Az A = [a

íy

] felső háromszögmátrix oszlopai - kihasználva az e

h e

2) e

N rendszer ortogonalitását, azaz a (e

t

, e

}

) = 0 (1 < i <j < AO feltételt, valamint a szóban forgó rendszer normáltságát - egymás után kiszámíthatók. Nevezetesen, ll/]-val jelölve az/e X vektor hosszát, az a

BW > 0 kikötés mellett azt kapjuk, hogy és az e

u e

2

, e„_

x ismeretében e, és e

n merőlegessége alapján megkaphatjuk az a

in együtthatókat: Végezetül az e„-re vonatkozó normálási feltétel alapján az e

n is meghatározható. Megjegyezzük, hogy az a

nn > 0 feltétel mellett az ortogonalizációs eljárás egyértelmű. Nyilvánvaló továbbá, hogy az e„ vektorok kifejezhetők az f

u ...,f

n vektorok lineáris kombinációjaként: Mielőtt rátérünk a most ismertetett Gram-Schmidt-féle ortogonalizációs eljárás és a Lánczos-féle algoritmus viszonyának ismertetésére, megemlítünk két fontos speciális esetet. Mátrixok faktorizációja. A most ismertetett eljárást az AT = esetben nem-szinguláris mátrix oszlopvektoraira alkalmazva, a szóban forgó mátrixnak egy jól használható felbontását kapjuk. Ha .F-fel jelöljük azt az NxN-es mátrixot, amelynek oszlopvektorai f,f

2

, ...,f

N

és E jelöli az e

lt e

2

, e

N oszlopvektorokból alkotott mátrixot, akkor a (2) egyenletek az eredetivel ekvivalens F = EB mátrix-egyenletbe men-