Lánczos Kornél 1893-1993 - Megyei Levéltár közleményei 15. (Székesfehérvár 1989)

Schipp Ferenc: A Lánczos-algoritmus

nek át, ahol őa ß

1; számokból alkotott felső háromszögmátrixot jelöli. Minthogy az E oszlopvektorai ortonormált rendszert alkotnak, ezért az E ortogonális mátrix, következésképpen inverze egyenlő a transzponáltjával. Ezzel a nem-szinguláris F mátrixot előállítottuk egy ortogonális és egy felső háromszögmátrix szorzataként. Ez a faktorizáció jól felhasználható lineáris egyenletrendszerek megoldására. Ebben az esetben, bevezetve a Bx = jelölést, az Fx = EBx = b lineáris egyenletrendszer ekvivalens az alábbi két rendszerrel: Ey = b, Bx = y. ^) A második egyenletrendszer megoldása x = B*y, ahol B* a B mátrix transzponáltját jelöli. Minthogy B háromszögmátrix, az első egyenlet egyszerűen megoldható. Ortogonális polinomok. Az ortogonalizálás egy másik fontos alkalmazásaként eljuthatunk az ortogonális polinomokhoz. Legyen X= C(í) az / véges zárt intervallumon folytonos függvények összessége és p egy rögzített, pozitív folytonos függvény (egy úgynevezett súlyfüggvény). Az X vektortéren az (f,g) = j

}

f(t)g(t)p(t)dt (/, geX) utasítással skaláris szorzatot értelmezünk. Az /

0

(0 = í, #o = t, /„(0 = r, ... (Í€ /) hatványfüggvények lineárisan függetlenek. Az ortogonalizációs eljárással adódó vektorok ebben az esetben polinomok, amelyek az adott p súlyfüggvényre nézve ortonormált rendszert alkotnak. Normáljuk a kapott rendszert úgy, hogy az ortogonális polinomok legmagasabb fokú tagjainak együtthatója 1 legyen, és jelöljük P

n-ne\ az így kapott n-eáik polinomot. Az ortogonalizációval nyert n-edik polinomot P„-nel jelölve a következő rekurziós formulák érvényesek: