Életünk, 1989 (27. évfolyam, 1-12. szám)
1989 / 9-10. szám - Szabó Lajos: Adalékok a halmazelmélet kérdéseihez
A végtelen halmaz: valódi részével ekvivalens. A végtelen halmaz olyan halmaz, melynek van olyan része, mely az egésszel egyenértékű. A végtelen halmaz esetében tehát a legegzaktabbnak ismert tudomány alapjainál (annak a tudománynak az alapjainál, amely tudománynak kincseiből a többi egzakt tudományok a maguk egzaktságát merítik!), minden logika és minden józan ész megcsúfolásaként azt voltak kénytelenek tapasztalni, hogy a rész egyenértékűnek mutatkozik az egésszel! Ezt a felmerült ellentmondást feloldani akaró kísérletek között volt egy, mely úgy látta, hogy a kérdés megoldásához elengedhetetlenül szükséges a végtelen fogalmának behatóbb vizsgálata. Ez a kísérlet arra figyelmeztet bennünket, hogy a „végtelen” kifejezése tulajdonképpen negációt fejez ki! Mi ehhez a kísérlethez csatlakozva azt kérdezzük: minek a negációja a „végtelen” kifejezése? — És mivel a szó itt leplezetlenül mutatja saját tartalmát, rögtön adódik a felelet, mihelyt fel mertük, illetve fel tudtuk tenni a kérdést: a „végtelen” a „véges” negációja! A „véges” negációja! — A szó továbbra is segítségünkre van, elmondja, hogy a „véges” fogalma maga is — tiszta negáció! Tehát a „végtelen” kifejezésének axiomatikus latolgatása ezt mutatta: kettős negáció! Kettős negáció pedig nemcsak a nyelvben, az arisztotelészi és hegeli logikában, de a matematikában is pozíciót, igenlést jelent. A kettős negáció igenlést jelent, ha egyáltalán jelent valamit, ha a két negáció nem olyan jellegű, hogy egymást tökéletesen feloldja, mert ebben az esetben a szerepe csak any- nyi, mint a francia szóvégi néma e-nak, az eggyel való beszorzásnak, vagy a nulla hozzáadásának. Ennek a tudomásulvételével a végtelen halmaz problémáját így fogalmazhatjuk meg: a pozitív halmaz valódi részével egyenértékű! így az ellentmondás tisztán, homály nélkül tűnik elő! Ha viszont úgy fogalmazunk, hogy a pozitív halmaznak van pozitív része, akkor meg nyom nélkül eltűnik az ellentmondás. Ez a nagyobbik baj. Az ellentmondás látható volt és most láthatatlanná vált. Mert van egy homályos önellentmondással szemben egy világos önellentmondást kifejező formulázásunk is, de ott viszont a speciális halmazelméletimatematikai mozzanatát a kérdésnek nyelte el a szélesebben általános logikai fogalmazásunk. Mégis jó úton járunk. Az ellentmondás eltűnt a kutatás felszínéről és visszasüllyedt az alapok felé, s ha ott meg tudjuk ragadni, akkor fel is tudjuk oldani. Ezért vissza kell térnünk az elemi, tetszés szerinti halmaz fogalmához és új irányból kell azt elemeznünk. Mi jellemző a halmazra? Az össze- és egybefogáson belüli teljes rendezetlenség. (Vannak rendezett halmazok is, de nem azok a halmazelméletben az alapvetők, és minket természetesen csak az alapvetőek érdekelhetnek.) Az elemi halmaz elemei teljesen különállóak és teljesen rendezetlenek. Kérdésünk: lehetséges-e, illetve miképp lehetséges ez? Lehetséges-e a különállók teljes rendezetlensége a halmaz keretén belül? Lehetséges-e a halmaz — az ellentmondó valóságok világán kívül —, ami megalkotásánál, definíciójánál fogva nem más, nem lehet több, mint egy miniatűr és elszigetelt káosz?! Miképp volna lehetséges a lokalizált káosz? A halmaz a rendezett világ tengerében az abszolút rendezetlenség szigete volna. 811
