Életünk, 1989 (27. évfolyam, 1-12. szám)
1989 / 9-10. szám - Szabó Lajos: Adalékok a halmazelmélet kérdéseihez
más elemektől feltétlenül halmazzá-összefoglalásukat kell hogy jelentse-e?, úgy erre a kérdésre feltétlenül igennel kell válaszolnunk. Mert ha valaki explicite sem összefogásról, sem pedig hozzátartozásról nem beszél, hanem ezeknek a kifejezéseknek gondos kikerülésével csak annyit mond: „a mindenségben szétszórva és a mindenség többi elemeitől elkülönítve” — nos, ez csendben és rendben elgondolható, de ez nem ellenvetés, mert ez már egy halmaznak a leírása: mert bármennyire szét vannak szórva a mindenségben és önmagukban, s a mindenség többi elemeitől bármennyire is el vannak különítve, éppen ez a kettős elkülönülés teszi halmazzá 'őket a halmazelmélet elem- és összefogás-felfogása szerint. Mert éppúgy, mint ahogy a halmaz eleme tetszés szerinti gondolati tárgy lehet, a halmazelméleti „összefoglalás" tetszés szerinti gondolati összefoglalást kíván csak meg. És így az egymástól és a mindenség más elemeitől való elkülönítettségük „egy halmazzá” avatja ezeket az elemeket, és így végleg igazolva van az az állításunk, hogy az „összefoglalás” és „hozzátartozás” kifejezések teljesértékűen pótolhatók a „mindenség más elemeitől elkülönítve” kifejezéssel. (Természetesen, ha a mindenségben ezen a halmazon kívül volnának elemek önmagukban és a mindenség más elemeitől szintén elkülönítve, akkor nem tudnók ezektől a „szintén elkülönített” elemektől a mi halmazunk elemeit megkülönböztetni. Viszont ebben az esetben csak az derülne ki, hogy a mi halmazunk elemei mégsincsenek a mindenség minden más elemétől elkülönítve, és ha nincsenek elkülönítve, akkor minden logika, sőt minden halmazelmélet is azt követeli, hogy ezeket az el nem különített elemeket ne nevezzük halmaznak, és akkor nem lesznek olyan álproblémáink, mint hogy halmazunk elemeit más elemektől nem tudjuk megkülönböztetni.) A halmazelméleti táj szólástól saját nyelvünkhöz közeledve azt mondhatnánk, hogy a halmaz nem más, mint kettős elkülönítése, kettős negációja elemeknek: először egymástól, másodszor minden rajta kívül fekvőtől. Vagy: tetszés szerinti gondolati szabadsággal, létminimum-szerű vékonysággal való össze- és egybefoglalása önmagukban elkülönített elemeknek. (így kiderül az is, hogy a halmaz maga a könnyűség. Valami annál köny- nyebb, valaminek annál több része van a könnyűségben, minél nagyobb szerepe van az ő egészében, az ő felületének. Nos, a halmaz az az emberi alkotás, mely fogalmánál és konstrukciójánál fogva a felületek és határok abszolút túlsúlyát jelenti a belterülettel szemben, mert a halmaz az a valóság, ahol még a belterület is színtiszta határolásokból áll.) Mit tudunk tehát egy tetszés szerinti halmazról, illetve elemeiről? Tudjuk, hogy létminimum-szerű elemek létminimum-szerű összefoglalása. A „létminimum-szerű elemek” kifejezés itt nem akarja azt mondani, hogy az elemeknek ilyen pontszerű valóságoknak kell lenniük, hanem csak azt, hogy a tetszés szerinti bonyolódottságú és gazdagságú elemek csak létminimum- és pont-szerű mivoltukban jönnek számításba a halmaz alkotásánál, és egyéb tetszőleges gazdagságuk a halmaz szempontjából tisztára közömbös. A rendezett, illetve jólrendezett halmazoknál a létminimum-szerű elemek összefogása már nem létminimum-szerű, hanem annál gazdagabb. A lét- és struktúra-minimumból a strukturáltság egy konkrét fokára emelkedik. Ezt tudjuk a teljesen tetszés szerinti és a valamiképpen már rendezett halmazokról. Hol merültek fel a halmazelmélet megoldhatatlan problémái? A végtelen halmazok csoportjánál. 810
