Állami gimnázium, Eger, 1931

— 5

3. Mikor a másodfokú függvény szélső értékével kapcsolatos elegendő számú feladatot kidolgoztunk, átismételjük ezt a levezetést

s újból felírjuk az: 4ac—b2

y ——-------------------1- a v2

v 4 a 1

alakot és felrajzoljuk az ábrát.

Úgy a szemlélet, mint az okoskodás arra vezet, hogy az

ax2-\-bx-\-c = o

egyenletnek ott van a gyöke, ahol az

y = ax2-\-bx-\-c

függvény rajza az X tengelyt metszi (az x = — helyhez viszonyítva szimmetrikus két helyen), illetve, ahol y = o.

Ha v-nek azt az értékét, mikor az y = o, Vi-gyel jelölöm, akkor a gyökök nyilván:

x\ — — Vi és Xi = — — ...........3.’

l

a * iá

lesznek.

De 2.-ből y =iX£—— -j~ a vi2 = o esetén a 4 a '

Vl = yb*-*ac g így r 4 a2

az ax2-\-bx-\-c — o egyenlet gyökei

xi,2 = -b±Vb2-4ac 4 2 a

4. A 3.-ból + x2 = — b- és xx x2 = ~ — v2 = CQ összefüggések is elég egyszerűen adódnak.

5. A további tárgyalás a szokott mederben haladhatna.

Összehasonlítva a bemutatott tárgyalást az eddig kötelezővel, láthatjuk, hogy a teljes négyzetre való kiegészítés, mint inverz művelet, elmaradt. (Az eddig alkalmazott művelet kizárólagosságát — hacsak tradicionális okok nem — semmi más nem indokolja, csak az, hogy majdnem azonos eljárással lehet a másodfokú függvény szélső értékéhez jutni. Ugyanennyi joggal lehetne különben pl. — más ismert levezetésen kívül — alkalmazni a: b x -f- c = — a x2 bal oldalának

4 c-vel való végigszorzása után a mindkét oldalhoz hozzáadott b2 a:2-tel teljes négyzetre való kiegészítését, amely eljárás egy lépéssel ugyan hosszabb, de az x, x2 megállapítása ugyanennyivel rövidebb).

A teljes négyzetre vaíó kiegészítés, ha konkrét feladatokon be is gyakoroltuk a tanulókkal, algebrai számokkal mindig nehézséget okozott. Tapasztalatom szerint, ha be lehet is tanítani az V. osztályban, alapos megértésre a nagy többségnél nem számíthatunk s az a, b, c, x, helyébe pl. o1; a2> a3> w írása esetén jó, ha egy-két fiú tudja a levezetést