Állami gimnázium, Eger, 1907

— 60

tehát

y Vy'+p*

2p

!'(

y+ V y2+p2

XXIII. Forgási testek köbtartalmának és felszínének

kiszámítása.

Ha az y=/(x) görbét az X tengely körül megforgatjuk akkor annak bármely P pontja oly kört ír le, melynek sugara y = f (x). E kör területe tehát y2n. Ha a P-vel szomszédos Q pont

leírta kör síkjának az előbbi kör síkjától való távolsága dx, akkor a forgási testnek e 2 körlap közé eső részét oly hengernek tekinthetjük, melynek alapja y%r, magassága pedig dx, e henger köbtartalma tehát y2ndx. Mivel pedig a forgási test köbtartalma végtelen sok ilyen végtelen kis magasságú henger köbtartalmának ösz- szege, azért az AB görbe leiírta forgási test köbtartalmát a következő határozott integrál szolgáltatja:

K=n f y2dx.

Ha PQ Ívelem hossza ds, akkor ezen ds leirata felület 2nyds,

b

tehát az egész AB =■ s leírta forgási test felszíne F 2nfyds, de

a XXII. fejezet értelmében ds = V 1 + í^x> tehát

2n

lí'+m

^ dx.

Alkalmazzuk ezen eredményeket a gömb köbtartalmának és felszínének kiszámítására. A gömb, mint tudjuk, úgy keletkezik, ha valamely félkört átmérője körül megforgatunk; ha tehát a kör egyenlete x2-j-y2 = rs, akkor a gömb köbtartalma;