Állami gimnázium, Eger, 1907

— 44 —

b , b2 —4 ű c

x = — — és y = —^—, mely utóbbi értéket úgy kapjuk, ha

az y = űx2 + öx + c kifejezésbe x helyébe — -^-t helyettesítünk.

A mennyiben a VII. osztályban a másodfokú egész függvények tárgyalása alkalmával számos oly feladattal foglalkoztunk, melynek megoldása valamely másodfokú egész függvény szélső értékének meghatározását követelte, most ily példák mellőzésével olyanok bemutatására térünk át, melyeket akkori ismereteinkkel megoldani még nem tudtunk.

2. Adott egyenes kúpba írjunk oly hengert, melynek köbtartalma a lehető legnagyobb.

Legyen a kúp tengelymetszete az ABC háromszög, a hengeré pedig a DEFG négyszög (15. ábra; a kúp magassága M, alapjának sugara R, a henger magassága x, alapjának sugara r, akkor a CIB és EGB háromszögek hasonlóságánál fogva :

M: R=x: (R — r),

M (R—r)

honnan

x =

és így a henger köbtartalma K=r2nx

R

r2nM (R—r) R

ez tehát

azon függvény, melynek maximumát megakarjuk határozni. Mivel pedig tényező állandó, azért az

A

y = r2 (R—r) = r2 R—r3 függvény maximumát kell keresnünk.

Ezen függvény első differenciálhányadosa Ljp=2rR — 3r2;

2 R

ezt zérussal téve egyenlővé a 2rR— " “

mely esetben a henger magassága x 2 /?

Hogy az r~— értéknél a függvények csakugyan maximuma

3 r2 = o egyenletből r—-’

M.

~~ 3

van, azt megtudjuk, ha a j^ — 2 R—6 r kifejezésbe r =

2 R