Állami gimnázium, Eger, 1907
— 43 előjelűek és így az x—a hely sem maximális sem minimális hely nem lehet. A függvény e helyen, ha f" (a) pozitív, növekszik, (1. 12. ábra R pontját), ha pedig /"' (a) negatív, fogy. Ha ellenben az x a helyen /' (a) és f (a) —n kívül még /"' (a) is == 0, akkor mint eddigi meggondolásaink szerint köny- nyen belátható, függvényünknek az x = ö helyen maximuma, vagy minimuma van a szerint, a mint /"" (a) negatív, vagy pozitív. Ezek után kimondhatjuk a szélső értékek meghatározására vonatkozó következő általános szabályt: Ha valamely / (x) függvény szélső értékeit akarjuk meghatározni, akkor először kikeressük azon helyeket, melyeken az első differenciálhányados zérus, azaz megoldjuk az /'(x) 0 egyenletet. Ezen egyenlet gyökei adják azon helyeket, hol a függvénynek szélső értéke lehet. Ezután megvizsgáljuk, hogy e helyek mindegyikén hányadik differenciálhányados az első, mely nem zérus. Ha ez általában az /z-edik és n páratlan szám, akkor e helyen függvényünknek szélső értéke nem lehet, mert e helyen a függvény nő, illetve fogy, a szerint, amint ezen n-edik differenciálhányados pozitív vagy negatív. Ha ellenben az n páros szám, akkor e helyen a függvénynek maximuma vagy minimuma van, a szerint, amint ezen n-edik differenciálhányados negatív, vagy pozitív. Mivel a gyakorlati alkalmazásokban számos oly feladat fordul elő, melynek megoldására a függvények szélső értékeit kell meghatároznunk, azért erre vonatkozólag néhány példát fogunk tárgyalni. 1. Első példa gyanánt szolgáljon a másodfokú egész függvény. Legyen tehát adva az y = öx2-f- b x -f-c függvény, ennek szélső értéke ott van, hol a függvény első differenciálhányadosa zérusa. De-^ =2űx dx b, mely kifejezést o-val téve egyenlővé, az így nyert 2ax-\-b o egyenletből x = —' ^a- A függvénynek tehát az x = — helyen van szélső értéke ; ez mivel ^ = 2 a, akkor 2 a } dx2 maximum, ha a, vagyis az x2 együtt hatója, negatív és akkor minimum, ha a pozitív, mely eredményt már az algebrából tudjuk. Ugyancsak ismeretes, hogy geometriai ábrázolásban azj/ = ax2-j- -f-öx-j-c görbe parabolát jelent, melynek, ha a pozitív, alsó, ha pedig a negatív, felső tetőpontja van, melynek koordinátái
