Állami gimnázium, Eger, 1907
— 32 kozunk, hogy ha az /(x) függvény csak ugyan kifejthető az (x — a) hatványai szerint haladó : /(x) = A + B (x — a) + C(x — ű)2+ D (x — o)3+ E (x — ű)4+. . sorba, akkor a Taylor féle sorra jutunk. Az A, B, C, D, E. .. együthatók meghatározásacéljából ugyanis képezzük az /(x) egymásután következő differenciálhányadosait: /' (x) = B + 2C(x- a) + 3ű(x-a)2 + 4£(x — ű)8+ ... /" (x) = 2C-f 2.3.ű(x — ű) -f- 3. A. E {x — a)2 -f- ... /"'(x)=2.3.D + 2.3.4£(x-ö)+ ... és így tovább. Ha ezen egyenletekben az x helyébe a-t helyettesítünk, akkor: f(,a)—A;f (a) = B;f"(a) = 2 C;/"'(a)= 2. 3 D;f" (a) = 2.3.4.?. mely egyenletekből A f (a); B =f(a); C = W; D E mely értékek tekintetbe vételével: 4! /(x)=/(u)+/-]f(x +«(x-ai4 + ... 0)+^T-(x-fl)S .0) (x 3! ^ a):1 3 4Ha ezen Taylor sorban az a helyett o-t írunk vetkező úgy nevezett Maclaurin féle sort kapjuk: f" (o) akkor a kö/(x) =/(0) + npr x 2! +/4f(x* + E sor szerint valamely /(x) függvény az x hatványai szerint haladó sorba fejthető ki, ha a függvénynek és differenciálhányadosainak értékét az x = o helyen ismerjük. Mivel e sor végtelen sok tagból áll, lehetséges, hogy vannak x-nek oly értékei is, melyekre nézve a sor divergens, ellenben oly értékei is, melyekre nézve az /(x) véges és határozott, azaz a sor konvergens. Ha tehát, mint a következőkben látni fogjuk e sort tényleges számításokra akarjuk alkalmazni, akkor azt természetesen csak akkor tehetjük, ha a sor konvergens. XII. Newton binomiális tétele és annak általánosítása. Legyen /(x)= (a-fx)”, akkor /' (x) = n (a -j- x)n_; /' (x) = n(n — 1) (a -f- x)n~2 f"' (x) = n (n — 1) (n — 2) (a -f- x)n~3
