Állami gimnázium, Eger, 1907
- 33 — ha ezen egyenletekben x = o-t helyettesítünk, akkor: /(o) = rtn; f(o) — nan~l; f"{p) = n (n— \)an~2; = f" (o) = n (n — 1) (n —2) an~3 . . . mely értékeknek a Maclaurin féle sorba való helyettesítésével lesz: (a -f- x)n == an -)- n an—1 x n(n— 1) 2! 7«-2 x3 + «(n—\)n—2) 3!_ an-3 x3 _J_ _ _ E sor az ismert binomiális tételt fejezi ki. Ha n pozitív egész szám, akkor e sor az (n -f-l)-edik taggal végződik, mert akkor az f(x)n-edik differenciálhányadosa állandó, az (n-(-l)-edik és az ennél magasabbrendűek pedig O-val egyenlők, de ha n negativ vagy törtszám, akkor a sor végtelen. Lássuk most a binomiális sor alkalmazását először negativ egész kitevőre. Legyen pl. kifejtendő: (1+x) 2= 1-^2 x +-~np^xl + x3 -j+ ~2. ~3- —4- -5 4 | 4! X ' a számítást elvégezve: (1 —)—x)—* = 1—2 x -j- 3 xs —4 x3 -j- 5 x4 —6 xB -j- . . . 1 Mivel (1 —j—x) 2 = 1= 1 : (1-j-2x-f-x2) a nyert ered(1 -f-x)2 mény direkt osztás által is kapható, melynek kivitelét azonban már az olvasóra bízzuk. Ha törtkitevővel van dolgunk, pl. : 1 1 _ J_ ,, , . 2 . . í ,2 2 2' 2' 2 0+)x ------2l X ^ —3j----_ 1_ _ _1_ _ 3_ ___ _5 a 2 2 2 ~ 2 a számításokat elvégezve: (1 =—x)2 x3 5x‘ . 7x5 76 Í28-' 256 • 3
