Ciszterci rendi katolikus gimnázium, Eger, 1935
11 sebességek tehát egy legnagyobb értékhez közelednek, amely okvetlenül nagyobb a A pontbeli sebességnél, hiszen Ä pontban feltételünk szerint a sebesség nem a legnagyobb, hanem kisebb, mint az utána következő pontokban. Nyilvánvaló tehát, hogy az előbb nyert hányadosok a A ponttól kifelé eső pontokban elért sebességeket jelentenek. Ezek szerint a A pontban lévő sebességet a folyton nagyobbodó útkülönbségek (differenciák) és időkülönbségek (differenciák) hányadosával nem lehet meghatározni. Próbáljuk meg ellenkező irányban, vagyis az út- és idő-differenciák fokozatos csökkentésével. Ezt úgy érjük el, hogy a B pontot mindig közelebb hozzuk A-hoz. Az út- és idő-differenciák hányadosai (a sebességek) a folytonos csökkenés révén egy legkisebb értékhez közelednek. Ezt a O-tól különböző értéket akkor érik el, ha B pont A-nak közvetlen szomszédja lesz. Mivel a differenciák hányadosa a A-tó 1 kifelé eső pontban lévő sebességet jelent, azért a differenciák hányadosának minden határon fúl csökkentésekor a A-fól kifelé eső pont is minden határon túl közeledik A-hoz, ami annyit jelent, hogy határesetben összeesik A-val. Ezen az úton tehát meg tudjuk határozni a A pontbeli sebességet. Ez nem más, mint az út- és idődifferenciák hányadosának határértéke, amit így jelzünk: As v = hm-------------— A f A o E kifejezésben A nem tényező, hanem csak a differenciák jele. A jobboldali kifejezést a következő alakban szokás írni: As ds lim A t A f > o ds df' dt tehát a sebesség: v = ahol d szintén nem tényező, hanem csak a differenciák határértékét tünteti fel. A hányadost az út idő szerint vett differenciálhányadosának nevezzük. Tehát a sebesség az útnak az idő szerint vett differenciálhányadosa. Ennek geometriai jelentése az elmondottak alapján nem más, mint a mozgást ábrázoló görbének kér- t déses pontjában húzott érintőnek az irányfangense. Hogy a sebesség nem az út és idő hányadosa, hanem az útnak az idő szerint vett differenciálhányadosa, a 3. ábra elég kézzel foghatóan igazolja. 3. ábra.
