Az Egri Pedagógiai Főiskola Évkönyve. 1960. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis ; Tom. 6)

III. Tanulmányok a nyelv-, az irodalom- és a történettudományok köréből - Pelle Béla: A reciprocitás alkalmazása az Apollonius-féle feladat megoldásánál

megfelelője hiperbola és ellipszis. Ezek közös ponijainak a száma is megegyezik az előzőékkel. Ha mindkét kör illeszkedik a H főpontra, akkor a körök megfelelői parabolák. A H közös ponttal bíró két körhöz három-kettő-egy közösérintő húzható, eszerint két közös fókuszú parabolának három (kettő a végesben, egy a végtelenben), kettő és egy (a végtelenben) közös pontjuk lehet. Ha a két kört úgy vesszük fel, hogy a főpont egyikre illeszkedik, a másikon pedig belül van, akkor a közös érintők száma kettő, vagyis a közös fókuszú parabolának és ellipszisnek mindig kettő, közös pontja van. Végezetül két olyan körhöz, amelyek mindegyike a főpontot belsejében tartalmazza kettő-egy-nulla közös érintő húzható, vagyis két közös fókuszú ellipszisnek kettő-egy-nulla közös pontja lehet. Vizsgáljuk ezután a két azonos főpontú, de különböző centrumú reciprok leképezés közötti összefüggést. Legyen a Z

5 centrum egységnyi magasságban a sík felett, Z2 pedig a magasságban. Az első esetben (1. a

2 ábra) PH • HP

t = 1, a másodikban PH - HPo = a

2. Ebből pedig PH = ^ 2 és így HP

2 = a

2 • HPj. Tehát a H középpontból nyújtással vagy összenyomással az egyik leképezéshez tartozó reciprok átvihető a másik leképezéshez tartozó reciprokba. Ebből továbbá az is leolvasható, hogy hiperbolából, parabolából és ellipszisből ismét hiperbola, parabola és ellipszis lesz, továbbá a közös pontok a transzformáció után is közös pontok maradnak. Eszerint: 10. A közös fókuszú kúpszeletek metszéspontjainak a megszerkesztésénél a reciprocitás köre tetszőleges sugárral rajzolható meg. Ebben a leképezésben megállapítottunk egy feltételt, amelynek, ha eleget tesznek a kúpszeletek, akkor a metszéspontjaik megszerkeszthetek. A szerkesztésnél a következők szerint járunk el: a kúpszeletek közös fókuszát választjuk főponttul, ekörül tetszőleges sugárral kört rajzolunk, a kúpszelet csúcspontjaiból megszerkesztjük a reciprok kör egy átmérőjének két végpontját, ebből megrajzoljuk a köröket és meghúzzuk a közös érintőit, ezek visszaállítottjai lesznek a metszéspontok. Alkalmazzuk az itt összegezett tételeket az Apollonius-íéle feladat megoldásánál. A feladat eredeti megfogalmazásában így szól: Szerkesztendő három adott kört érintő kör. Az adatok között engedjük meg a nulla és a végtelen sugarúakat is. Az érintőkörök középpontjait általában kúpszeletek szolgáltatják. Ezek a kúpszeletek pedig mindig előállíthatók úgy, hogy fókuszuk közös legyen. így az érintőkörök középpontjai az előbbiek alapján megszerkeszthetők. 2. Az Apollonius-féle jeladat megszerkesztése a) Szerkesszünk három adott kört, érintő kört. Vegyük fel a három kört úgy, hogy egyik sem messe a másikat. Válasszuk ki k.3-at és ehhez viszonyítva vizsgáljuk a másik kettőt érintő körök középpontjainak mértani helyét. Azon köröknek a középpontjai, amelyekből rajzolt körök k| ko-t érintik, hiperbolákon vannak, ugyanúgy k2k,3~at érintő körök 439