Az Egri Pedagógiai Főiskola Évkönyve. 1960. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis ; Tom. 6)

III. Tanulmányok a nyelv-, az irodalom- és a történettudományok köréből - Pelle Béla: A reciprocitás alkalmazása az Apollonius-féle feladat megoldásánál

Figyeljük meg, hogy az MH egyenesen lévő körátmérő végpontjainak a reciprok egyenesei a kúpszeletek csúcsérintői, a körközéppont megfelelője pedig a kúpszelet vezérvonala. A 2. ábrán m>R, tehát a (2) alapján e> 1, a c kúpszelet hiperbola. Az Uoo végtelen távoli pontnak megfelelő u reciprok egyenes a H főpontból a körhöz húzott érintő lesz. Az A érintési pontnak megfelelő reciprok egyenes pedig a hiperbolát a végtelen távoli pontban érinti, tehát ez az aszimptota. Ez párhuzamos az MA iránnyal. A főpontból húzott körérintők érintési pontjai a körívet két részre osztják, egy-egy ív egy-egy hiperbola ágnak felel meg. Ha C kör átmegy a H főponton, akkor e == 1 és m = R, a kúpszelet parabola. I Ha pedig H a C kör belsejében van, akkor m<R és így £< 1. A kúpszelet ellipszis. A 7. tétel értelmében az érintőkből a reciprok görbe pontjai lesznek. Válasszunk ki a C körhöz két érintőt. Ezek megfelelői a reciprok görbének pontjai. Ezt a két pontot összekötő egyenesnek a megfelelője a 2. tétel értelmében a körérintők metszéspontja lesz. Az összekötő egyenes a kúpszeletet az érintőknek megfelelő pontokban metszi. Ezek szerint: 8. Ha egy kúpszeletet egy g egyenessel metszetünk, akkor a metszéspontokat úgy szerkesztjük meg, hogy g-nek a reciprok G pontjából érintőt húzunk a kúpszelet reciprok köréhez, és ezek visszaállított]ai lesznek a metszéspontok. Két kör reciprok ábrája két közös fókuszú kúpszelet. A körök érintői a kúpszelet metszéspontjai lesznek, tehát a közös érintőknek megfelelő pontok mindkét kúpszeletnek pontjai lesznek, vagyis közös pontok. így: 9. a. Két kör közös érintőinek reciprok ábrája a közös fókuszú kúpszeletek metszéspontjai. 9. b. Közös fókuszú kúpszeletek metszéspontjait úgy határozzuk meg, hogy a kúpszeleteknek megfelelő körökhöz érintőket húzunk és az ezeknek megfelelő reciprok pontok lesznek a metszéspontok. Ezek szerint tehát a kúpszeletek metszéspontjai meghatározhatók, ha azok egyik fókusza közös. Tekintsük át röviden, hogy két közös fókuszú kúpszeletnek hány metszéspontja lehetséges. Ha a körök olyan helyzetűek, hogy a főpont mindkettőn kívül van. akkor a körök megfelelői hiperbolák. A két körhöz négy-három-kettőegy-nulla érintő húzható, tehát két közös fókuszú hiperbolának is ugyanennyi közös pontja lehet. Ha a két kör olyan helyzetű, hogy a H főpont egyiken kívül van, a másikra pedig illeszkedik, akkor az egyik kör megfelelője hiperbola, a másiké parabola. A két körhöz négy-három-kettő-egy-nulla érintő húzható, így a közös fókuszú hiperbolának és parabolának is ugyaneny nyi közös pontja van. Ha a H egyik körön kívül, a másikon pedig belül van, akkor a körök 138