Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1979. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 15)

III. TANULMÁNYOK A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK KÖRÉBŐL - Koncz József: Egy számelméleti probléma megoldásának számítógépes elemzése

Erdős Pál felvetette a kérdést, hogy a (2) sorozat milyen d értékek esetén nem divergens minden A természetes számnál, illetve milyen d esetén ciklikus a (2) sorozat minden A-ra, valamint, hogy meghatározhatók-e a különböző ciklusok. A továbbiakban ezt a problémát vizsgáljuk, és megadjuk a teljes választ d = 10, d = 0 és d— 1 esetén. 1. Ha d - 10 akkor a (2) sorozat szigorúan monoton növekvő és felülről nem korlátos. (Mindent természetes szám esetén.) Ugyanis^ < 10"

+ 1 esetén F{A) = (a

n + 10) • (a

n-\ + 10) •. . . • (a

0 + 10) > 10"

+ 1 azazF(A) >A mindent természetes számra. 2. d = 0 esetén F(A) = a

n • a

n.\ . . . a

0. — Amennyiben a/ = 0, valamely 0 < / < n esetén, úgy a (2) sorozatban minden Aj = 0 ha/' > 0, tehát a (2) sorozat ciklikus. — Tételezzük fel minden /-re, hogy ű; 0 de van legalább egy i index úgy, hogy 1 <a

f< 9. Legyen k = min [a\]< 9 10"

+

1-1 Ekkor ésF(A)<k-9

n n 10"

+

1-1 Mivel 1 < k <9 ésk • 9 <k • g minden n > 0-ra igaz, ezért Ai =F(A)<k • 9

n < k • <A. — Ha minden 0 < / < «-re a,- = 9 igaz, akkor A = 10"

+

1 - 1 ésF04)= 9"

+

1 Mivel 10"

+

1 — 9"

+ 1 > 1 minden n > 0-ra igaz, ezért A i =F(A)<A. Tehát minden A > 10 esetén F{A) < A, ezért a (2) sorozat szigorúan csökkenő, amíg .4/ < 10 bekövetkezik. Ettől kezdve a (2) sorozat minden tagjára Aj — A,+ i = Aj

+ j = . .. így d = 0 esetén a ciklusok előállnak, ha az 1 jegyű számokat vizsgáljuk. Minden ciklus 1 elemű. Ezek a következők: 0, 1,2,3,4,5,6, 7, 8,9 3. d = 1 esetén F{A) = (a

n + 1) • (a

n.i + 1) • .. . • (a

0 + 1). Bebizonyítjuk, hogy azA,Ai, A

2 ... sorozat ciklikus minden A esetén, és a különböző ciklusok száma véges. — Ha valamely 0 < i < n esetén a,- = 0 és n > 0 akkord > 10" és F(A) = 10". Az A = = 10" csak akkor teljesül, ha a

n = 1 és minden 0< i < n esetén a/ = 0. Ekkor viszont F{A)< 10". így A>A

X. — Legyen a továbbiakban 0 < k — min {a,} és k < K = max^a,} Ha K = 9 akkor ,4 > 10". Ekkor viszont A

x = F{A) < (fc + 1) • 10" és F04) osztható 10-zel, azazF(^4) tartalmaz 0 számjegyet. Ekkor viszont^ = F{A\) < 10", azazA

2 <A. Ha K < 9 akkor 10"- 1 A>k-\0 + KésF(A)<(k + 1) • (A" + 1)" (3) Bebizonyítjuk, hogy minden n > 5 esetén F(/l) <^4. 408