Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1979. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 15)

III. TANULMÁNYOK A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK KÖRÉBŐL - Koncz József: Egy számelméleti probléma megoldásának számítógépes elemzése

EGY SZÁMELMÉLETI PROBLÉMA MEGOLDÁSÁNAK SZÁMÍTÓGÉPES ELEMZÉSE KONCZ JÓZSEF (Közlésre érkezett: 1978. december 31.) G. D. Poole [1] olyan tulajdonságú tízes számrendszerbeli számokat keresett, melyek egyenlők számjegyeik faktoriálisának összegével. Számítógép segítségével kimutatta, hogy csak négy ilyen tulajdonságú tízes számredszerbeli szám van. Ezek: 1, 2, 145 és 40 585. Ehhez a kérdéshez hasonló az úgynevezett Steinhaus probléma is. Legyen A ~~

an

an-\ - - • ao egy tízes számrendszerben felírt szám: a^ • • ao számjegyekkel, és értelmezzük a következő függvényt: F(A) = a^ + a^ + a^ ahol k természetes szám. n n- 1 o Steinhaus [2] k — 2 esetén, K. Iséki [3J k = 3 esetén, K. Chikawa, K. Iséki és T. Kusakabe [4] k = 4 esetén, K. Chikawa, K. Iséki, T. Kusakabe és K. Shibamura [5] k - 5 esetén, E. T. Arasuov és V. A. Gusev [6] pedig k = 6 és k = 7 esetén, Kiss Péter [7] k — 8 esetén bebizonyították, hogy tetszőleges ^4-bóI kiindulva az A, A i,A 2, • • • sorozat ciklikus, ahol A i — F(A), A

2 - F{A i), ... Ez azt jelenti, hogy valamely i-re A, = Aj (j < i), azaz az Aj, Aj

+ 1

1 . . . A[_ i tagok ismétlődnek. Kiss Péter [8] általánosította a problémát. Bebizonyította, hogy ha f[x) egy nem negatív, egész értékű függvény értelmezve van a 0, 1, 2, 3, ... 9 számjegyekre, és A, A !, A

2, .. . sorozat - ahol Aj = FiAi-^) minden / > l-re ciklikus és a különböző ciklusok száma véges. Hasonló a fentiekhez egy — Erdős Pál által felvetett probléma. Tekintsük az A = a

n a

n_\ . . . a

0 tízes számrendszerbeli számot, amelynek számjegyei a

n, a

n _ i, . . . a

0. Értelmezzük a következő függvényt: n F{A) — iS^ fifli) = A x akkor az F{A) = {a

n + d) - (a

n

A + d).. . {a

0 + d) (1) ahol d nem negatív egész szám. Legyen A j így az F{A),A

2 = F(A i), . . . A,A

X,A

2 . . . sorozatot kapjuk. (2) 407