Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1979. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 15)

III. TANULMÁNYOK A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK KÖRÉBŐL - Dr. Szepessy Bálint: Megjegyzések a valós függvények iterálásához I

Ha [c, d] = n(c<d) az [a, b] szakasz egy részszakasza, akkor pontjainak első iteráltjai is egy szakaszt alkotnak; jele A/j szakasz n-edik iteráltján a ju„ = (n

n_ t )i intervallumot értjük. Ha /(c) = c, akkor a c pontot az f(x) függvény elsőrendű fixpontjának nevezzük. Ha f

n(c) t^ c, n = 1, 2,. . .,' r—1 esetén, de /,-(c) = c, akkor c az /(jc) függvény r-edrendű fixpontja. Ekkor c

l

} c

2,. . c

r pontok is páronként különböző r-edrendű fixpontok, a Ci, c

2,. . c

r-1, c fixpontok egy r-edrendű ciklust alkotnak. Ennek elemei konjugált fixpontok. A c pont iterációs pontsorozata a ciklus periodikus ismétlődésével áll elő és csak r számú különböző pontot tartalmaz. Az/?-edrendű fixpontok az.y = f

n{x) görbe és az átló metszéspontjainak vetületei az abszcisszatengelyen. Ha x

0 pont iterációs pontsorozatának c a határértéke, akkor c elsőrendű fixpont, és azt mondjuk, hogy x

0 pont a c ponthoz tartozik. Valamely x pontot konvergenciapontnak nevezünk, ha iterációs pontsorozata konvergens, ellenkező esetben x divergenciapont. Azt mondjuk, hogy a c elsőrendű fixpont vonzó, ha létezik olyan pozitív E szám, hogy bármely xe(c-E, c+E) intervallum) esetén x a c ponthoz tartozik. A c elsőrendű fixpont balról-vonzó, ha nem vonzó és létezik olyan pozitív £ szám, hogy minden xe(c-E, c) esetén x a c ponthoz tartozik. Hasonlóképpen értelmezzük a jobbról-vonzó elsőrendű fixpontot. Ezeket közös néven félig vonzó fixpontoknak nevezzük. Taszító egy elsőrendű fixpont, ha saját magán és megelőzőin kívül nincs más hozzá tartozó pont. Az olyan elsőrendű fixpontokat, amelyek nem sorolhatók az előbbi csoportok egyikébe sem, vegyes fixpontoknak nevezzük. A magasabb rendű fixpontok értelmezéséből következik, hogy az f(x) függvény r-edrendű fixpontja az f

r{x) függvénynek az elsőrendű fixpontja, így f(x) függvény r-edrendű fixpontja félig vonzó, vonzó, taszító vagy vegyes aszerint, hogy az f

r{x) függvény c elsőrendű fixpontja melyik típusba tartozik. Bebizonyítható, hogy bármely magasabb rendű fixpont és konjugáltjai egyazon típusúak. Ezért vonzó, félig vonzó, taszító vagy vegyesnek nevezünk egy ciklust aszerint, hogy fixpontjai milyen típusúak. Az [a, b\ szakasz pontját szinguláris pontnak nevezzük, ha az x

n (n = 1, 2,. . .) végtelen sorozat csak véges számú páronként különböző pontból áll; az pontot regulárisnak nevezzük, ha iterációs pontsorozata páronként különböző pontokból áll és a pontsorozatnak véges számú torlódási pontja van. Az pont irreguláris, ha azx

n (n = 1, 2, 3, . . .) sorozatnak végtelen sok torlódási pontja van. Az [a, b] szakasz bármely pontja az említett három típus valamelyikébe, de csak egyikébe tartozik. Egy pont megelőzői és rákövetkezői ugyanabban a csoportban vannak, mint maga a pont. 3. A magasabb rendű ciklusokról Milyen iterációs alapfüggvény esetén van bármilyen magas rendű ciklus? Ez a bevezetőben felvetett kérdés a következőképpen is megfogalmazható: Milyen iterációs alapfüggvény esetén nem lehet a fixpontok (ciklusok) rendszámára felső korlátot adni. Ehhez a kérdéshez kapcsolódik a következő tétel. Ha az [a, b] szakaszban f(x) az 1., 2., 3. feltételeknek eleget tesz és van két olyan diszjunkt részszakasz, amelyeket a függvény az egész zárt \a, Z?] szakaszra képez le, akkor; van bármilyen magas rendű ciklus (vagyis a fixpontok rendszáma nem korlátos). 397