Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1978. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 14)

Az általános eset megoldása Most rátérünk azx

k-x = 0(mod B

n) kongruencia megoldására. Nem megy az általánosság rovására, ha feltesszük, hogy n— 1, hiszen B lehet teljes n-edik hatvány is. Legyen B alakja B = 2

a> -p"

2 ' Ps

3 • • • Pr

r, ahol 2 = p

x, p

2,. . . , p

r különböző prímek. Vezessük be a következő jelöléseket. Legyen i > 1 esetén gj primitív gyök (mod pfi), di = (k-1, <p(pf 0, k-1 = df • d'i és <p(pf0 = • c/; ha pedig i = 1, akkor g

x = 5 továbbá ha a

x < 2, akkor c' = c\ = 1 és ha o^ >2 akkor c' = 2, cí = 2

a' azonkívül d = (k-\,c

,),d

l = (k-\,c\),k-l =d • d' = d

x- d\,C' = d • c és c\ = d

x • c

x (^azEulerféle függvényt, [x, y ] pedig * és>- legnagyobb közös osztóját jelöli.) B + További jelölések: P( = —= pf

1. . . pfi~j

1 • pfi j ... pf

r, azonkívül i > 1 esetén legyen Gj = 0 vagy G, = gi

C

i'

q

i\ i = 1 esetén pedig ha c^ = 0, akkor G

x = 0 és ha c^ > 0, akkor G

x = 0 vagy G

x = {-\)

c'

q'g

x

c* , ahol? = 0,1,.. . ,d-\ésqj = 0, 1,. . . ,^-1. Ezen jelöléseket felhasználva, a következő tételt fogjuk bizonyítani. 2. Tétel: Az xk-x = 0 (mod B) (4) kongruencia összes megoldása x=£ G

rFf

(modB). i=l Bizonyítás: (4) ekvivalens az = 0 (mod 2

a>) xk-x = Q (mod pp ) (5) xk-x = 0 (mod p?') kongruenciarendszerrel. Oldjuk meg először az x

k-x = 0 (mod pfi) kongruenciát, ahol i> 1, így pi > 2 prímszám, x és x

k~ 1 — 1 relatív prímek, ezért (6)-ból (6) .x=0(mod pfi) vagy x

k~

1 = l(mod pf'). (7)-ben x alakja a gi primitív gyök segítségével (7) x=gfi (mod pfi) ahol 0<ßi< tfpfi). Ezt (7)-be írva g

{k-l)ßi= ^ =^(mod pf

1')» amiből (8) 459