Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1978. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 14)

kongruenciával foglalkozott. Bizonyította, hogy ha B = U'V (ahol (u, v) = 1) és uQ = 1 (mod v), akkor az uQ' vT

l~ 1 számot B

n-ne\ osztva, a maradék (3) megoldása (a B alapú számrendszerben n jegyű megoldás, vagy más szóval B alapú n indexű automorfikus szám). [8]-ban Tédenat eljárásához hasonló rekurziós eljárást adtam a (3) kongruencia megoldására és rámutattam egy kapcsolatra az automorfikus számok és pszeudoprím számok között. N. P. Callas [11] igazolta, hogy ha x a (2)-nek egy megoldása, akkor kielégíti ?Lzy

2 =_y(mod 10'") kongruenciát. C. P. Popovici [12] az (1) kongruencia megoldásait adta meg explicit alakban 5=10 esetben. Érdemes még megemlíteni, hogy (3) megoldásait számítógéppel is többen keresték. Például Vernon de Guerre és R. A. Fairbairn [14] 1000 (ezer!) jegyre kiszámították az automorfikus számokat 6, 10 és 12 alap esetén, vagyis (3) megoldásait n = 1000 és B = 6, 10, 12 esetében. Jelen dolgozatban az (1) kongruencia általános megoldásával foglalkozunk, megadjuk a megoldások számát és a megoldások explicit alakját. Bebizonyítjuk, hogy a tételünkből következményként adódik E. Hewitt egy tétele. Megmutatjuk a tételünknek a pszeudoprím számokkal való kapcsolatát, új bizonyítást adunk R. D. Carmichael egy tételére és megoldjuk K. Szymiczek egy problémáját. Egy segédtétel bizonyítása Mielőtt rátérünk az (1) kongruencia megoldására, egy segédtételt bizonyítunk. 1. Tétel: Legyen M = q

x -q

2. . . q

r egy természetes szám, ahol q

x > 1 és (<?,-, qj) = 1 minden i ^ j esetén, továbbá legyen n M Qs = — = <7i 'Qi • • • Qs- 1 1 ...q

r. Hs Ekkor 2 Qfüfr = l(modMk), s=1 ahol ifi az Euler-féle függvény. Bizonyítás: A feltételek miatt elég bizonyítani, hogy 2 -1 osztható gf-val minden i— 1,2,... ,r esetén. A s:= 1 V -1 = v Qflh + 2 Qf

(

q^ + -1 S=1 S = 1 S=I'+1 kifejezés első két összegének minden tagja osztható Q

s definíciója miatt ^valamely y(qjf) hatványával, ezért qk-va\ is. Ugyanis könnyen belátható, hogy qj> 2 esetén y(qf ) > k' -1 pedig Euler kongruencia tétele miatt osztható í?^-val,merí Q[ és q& relatív prímek. Ezzel igazoltuk az 1. Tételt. 458 ^