Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1978. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 14)

> EGY BINOM KONGRUENCIÁRÓL DR. KISS PÉTER (Közlésre érkezett: 1977. január 30.) Bevezetés Tekintsük az xk -x =0 (mod 5") (0 kongruenciát, ahol & > 2, i? > 1 és n természetes számok. Ennek megoldása azonos a következő probléma megoldásával: Melyek azok az jt egész számok a B alapú számrendszerben, melyekre x

k és x ugyanarra az n jegyű számra végződik? Ehhez hasonló problémával, különösen a tízes számrendszerben már igen sokat foglalkoztak. (Lásd [4], 453—464. oldal.) Erre utalnak a különböző elnevezések is. G. Valentin [5] szerint már a görög szofisták is észrevették, hogy 5, 25 és 6 számok négyzetei is ugyanezekre a számokra végződnek és ők ezeket ciklikus számoknak nevezték. De más elnevezések is ismertek. Például R. L. Goodstein [6] n indexű automorfikus számoknak nevezte a B alapú rendszerben az x

2 = x (mod B

n) kongruencia megoldásait, A. Cunningham [3] pedig (1) megoldásait «-edrendű fc-adfokú kellemes számoknak nevezte a B alapú rendszerben. A problémát először 1814-ben az Annales de Math. ([1], 220. oldal) fogalmazta meg: „Melyik az a szám, melynek egymásután következő hatványai ugyanarra az n jegyű számra végződnek mint az eredeti szám? Itt elegendő az x

2 = x (mod 10") kongruenciával foglalkozni, mert könnyen belátható, hogy ennek megoldásai kielégítik az xk = x (mod 10«) kongruenciát is minden k > 2 természetes szám esetén. Ugyanis, ha x

2 =x (mod 10«), akkor xk = xk-2- x

2 = Xk-2.

x = xk-1 = . . . = ;c(mod 10"). A sok eredmény közül, melyek hasonló problémákra vonatkoznak, néhány a következő. Az Annales de Math, problémáját először M. Tédenat ([1], 309-321. oldal) oldotta meg. Bebizonyította, hogy az kongruenciának, eltekintve a 00 ... 0 és a 00 ... 01 triviális megoldásoktól, minden n esetén két különböző x

x és x

2 n jegyű megoldása van. Az egyik 5-re, a másik pedig 6-ra végződik és x

x = 10"+1. Megadott egy eljárást is, hogyan képezhető az n = m+1 esetben a megoldás, ha az n = m eset megoldása ismert. R. L. Goodstein [6] az x

2 =JC (mod 10") (2) ;c

2-;c = 0 (mod B

n) (3) 457