Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1973. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 11)
III. Tanulmányok a Természettudományok köréböl - Járosi András: Számok n-edik gyökének fogalmáról
a Va kintsük pl. az a valós szám n-edik gyökét páros n esetén. Ennek jelölésére n n általánosan elfogadott volt az ]/ a = ± b forma. Nyilvánvaló, hogy ha ]fa — b n és \a=— b, akkor b =—b = 0. Következésképpen az x" — a egyenlet megoldása tetszőleges pozitív a esetén 0, így 0 n=0=a és a p 6 0 egyidejűleg fennállna. Ugyanezzel az okoskodással kaphatjuk, hogy egy zérustól különböző komplex szám valamennyi, egymástól páronként különböző gyöke zérussal egyenlő. A későbbiek miatt megjegyezzük, hogy a fogalomban jelentkező ellentmondás nem a fogalom tartalmából, hanem a jelölésből, tehát a formájából adódik, azonban a tartalom és a forma dialektikus egysége folytán a fogalom egészére kihat. Az iskolai oktatásban sok problémát okozott a gyök ellentmondásos jelölése, mindenekelőtt a gyököket tartalmazó kifejezések azonos átalakításainál 5. Ismeretes, hogy a nem negatív valós számok halmazában, valamint ennek részhalmazaiban, ahol a gyök egyértelmű, érvényesek a következő azonosságok: n n n (a) Ya~b = ][a ) !b (2) (b) /-=- = -(M 0) Vb n n (c) ]fa™ — (J/a ) m Ezeknek a bizonyítása a definíció alapján egyszerűen úgy történik, hogy a jobb oldali kifejezéseket n-edik hatványra emeljük, és eredményül rendre a bal oldalon levő gyökök alatti számokat kapjuk. Többértelmű gyök esetén ez a bizonyítás hamis lenne, mert az a n = b n egyenlőségből nem következik az a — b egyenlőség. Pl. {—5) 2 = 5 2, de •—5 ^ 5. A gyökök ellentmondásos jelölése egyéb problémákat is okoz 6. Emiatt n nem tekinthető függvénynek az y — \x leképezés páros gyökkitevőre. A trigonometrikus függvények értékeinek kifejezésében nem engedhető meg a négyzetgyök jelének alkalmazása, ha az kétértékű. Például: tg 60° = V3 nem igaz, ha f 3 kétértékű. Az ismertetett ellentmondás tehát önmagában és következményeiben is sürgeti a jelölés többértékűségének a megszüntetését. Csodálkoznunk kell azon, hogy a többértékű gyököknek ez a jelölésmódja ily hosszú ideig fennmaradhatott. Talán azzal lehet magyarázni, hogy a gyökvonás új számfogalomhoz, az irracionális számhoz vezetett, amelynek a tartalmát matematikailag szabatosan megadni a matematikusok számára sokkal fontosabb és izgalmasabb feladatot jelentett, mint a szám n-edik gyökének a fogalmát tisztázni, amelynek tartalma egyébként is világos, és csupán 18* 275
