Az Egri Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1964. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis ; : Nova series ; Tom. 2.)
III. Tanulmányok a természettudományok köréből - Dr. Pelle Béla: Az Appendix néhány paragrafusának vizsgálata a maradék axiomarendszer alapján
MAN <£ = MXB <£ . (E tétel a III4 axióma megfordításának is tekinthető.) Bizonyítás: Először kimutatjuk, hogy legfeljebb egy félegyenes illeszkedik B-re. A III4 axióma szerint az AM egyenes Q pontjaiból kiinduló CjM-hez egy és csak egy félsugár tartozik, amellyel képezett szögek egybevágók MAN < gel. Mivel MAN < = MCi Bi <£, így a következő tétel szerint: „Ha egy g egyenes két a és b egyenest egybevágó megfelelő és akkor egybevágó váltó szögek alatt metszi, ez esetben a- és b-nek nincs közös pontja." (Varga Ottó: A geometria alapjai 72. tétel) AN + és Ci Bi + nem metsző egyenesek. Továbbá MAN = MCi B 2 <£ -bői AN+ és C 2 B 2 + nem metszők. De akkor Ci Bi + és C2 B'2 + sem metszi egymást. Ugyanis ha egy közös B pontban metszenék, akkor a BCi C2 háromszögiből az MC2 B külső szög egybevágó lenne az MCi B belső szöggel. Ez pedig ellentmond a következő tételnek: „Egy háromszög bármilyen külső szöge nagyobb a háromszög azon szögeinél, amely nem mellékszöge." (Uo. 79. tétel.) E tranzitív vonatkozásából következik, hogy a Cj Bj + szögszárak nem metszik egymást. Ezek szerint az AM egyenes kijelölt oldalának bármely B pontjához legfeljebb egy egyenes illeszkedik úgy, hogy MAN = MXB <£ . Tegyük fel, hogy van olyan B pont, amelyre a Q Bj +-k egyike sem illeszkedik. Tekintsük azokat a Cj pontokat, amelyekhez tartozó MCj B <£ < MAN < , továbbá azokat, amelyekhez tartozó MQ B <£ > MAN <£ . A B-ből kiinduló és az első csoporthoz tartozó félsugarakat jelöljük a^-val, a másodikhoz tartozókat bk-val. A Cantoraxiómának megfelelő szögmetrikai tétel szerint (uo. 151. tétel) létezik egy B ponton átmenő x félsugár, amely az összes (ak b^) belsejében fekszik és x egymástól elválasztja az a k és bk félsugarakat, így MXB nem lehet nagyobb MAN <í -nél, mert akkor x b k-hoz tartozik, de kisebb sem, mert akkor a k-hoz tartozik. Mivel pedig 492
