Az Egri Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1964. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis ; : Nova series ; Tom. 2.)
III. Tanulmányok a természettudományok köréből - Dr. Pelle Béla: Az Appendix néhány paragrafusának vizsgálata a maradék axiomarendszer alapján
az egybevágó, kisebb, nagyobb relációk közül egyik és csak az egyik állhat fenn (uo. 58. tétel), MXB <£ = MAN < , tehát B-re is illeszkedik egy szögszár a feltétellel ellentétben. Ezzel bebizonyítottuk a következő tételeket is: 4. 2. tétel: A B-re illeszkedő x félsugár elválasztja a Qn-re illeszkedő párhuzamos félsugarakat a Cm-re illeszkedő párhuzamos félsugaraktól, ahol MC m B < > MXB <£ > MC n B < . 4. 3. tétel: Nincs olyan BC, n M szögnél nagyobb és BC m M szögnél kisebb szög, amellyel a BXM < ne válna egyszer egyenlővé. 4. 4. tétel: Az AM egyenesen D felvehető úgy, hogy BDM > NAM <£ . Bizonyítás: A4. 1. szerint B-re egy és csak egy olyan félsugár illeszthető, hogy MXB < = MAN <£. Az XM f félegyenes D pontjaira MDB > MXB , feltéve, hogy | XD | < | XM |. A következő tétel alapján: — „Ha ^ (a'b') < < (c'd') és <£ <c'd') = < (e'f'), akkor < (a' b') < < (e' f')•" (u. o. 59. tétel.) — MXB < < MDB < és MXB > = MAN <-ből következik, hogy MAN < < MDB <£ . Ezen tételek közül Bolyai a 4. 3. tételt használja fel az 5. §-ban. Az 5. § tétele a következő: Ha BN + || AM f, akkor az AM egyenesen van olyan F pont, amelyre nézve F <£ = B . E tétel a 4. §-ban idézett tétel mellőzésével is bizonyítható. Söt helyette a következő általánosabb tételt mondhatjuk ki: 5. 1. tétel: Ha BN^" || AM~, akkor az AM egyenesen egy és csak egy olyan F pont van, amelyre nézve FBN ^ = BFM . Bizonyítás: A maradék axiómarendszer alapján bizonyított tétel (uo. 105. tétel), hogy a BN és AM nem metsző egyenespárnál BN minden pontjához AM-en legfeljebb egy korrespondeáló pont létezik. Továbbá bizonyított a következő is (uo. 107. tételben): az egymást nem metsző egyenespárra BN tetszőleges B pontjához AM-en van korrespondáló F pont. Ezek szerint: Két nem metsző egyenespáron az egyik egyenes tetszőleges pontjához a másik egyenesen egy és csak egy korrespondeáló pont létezik. Az értelmezés szerint BN + || AM + egyenesek nem metsző egyenesek, így a tétel érvényes. E tétel tehát a maradék axiómarendszer alapján levezetett tételek speciális eseteként említhető. Ehhez hasonlóan kezelhető a 8. § is. A 8. §-ban Bolyai a következő tételt rögzíti: Ha BN+ || CP+, továbbá BCP < = CBN és az NBCP tartományban levő AM merőlegesen felezi a | BC | távolságot, akkor BN + j! AM r. E paragrafus felépíthető a következőképpen is: A nem metsző egyenesek középvonalának értelmezése alapján a párhuzamos egyenesek középvonalát a következőképp értelmezhetjük: Értelmezés: A BN~ és CP + párhuzamosok középvonalán azt az AM egyenest értjük, amelynek pontjai a BN és CP egyenesektől egyenlő távolságra vannak (a. tulajdonság). Megjegyzés: Az értelmezésnél figyelembe vettük azt a tételt, amely szerint a párhuzamosság független a félegyenesek kezdőpontjától. 493
