Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1998. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 25)
KIRÁLY B. ÉS OROSZ GYULÁNÉ: Egy euklidészi gyürü
Egy euklideszi gyűrű 75 Legyen x = ^ a tg l G T[g] C T(g). Ekkor x = a kg kx'. Evidens, hogy o<i ez A; > 0. Jelöljük x°-rel az x polinom fokát. Figyelembe véve, hogy k > 0 az előző egyenlőségből következik, hogy (6) > (x')°. A Tétel bizonyítása. Legyen x E T(g) \ {0} és legyen x' = 1 + ]T az a; normáltja. Nyilván x' G T[g\. Legyen deg x = (a: 7) 0. A deg x-et az x elem módosított fokszámának fogjuk nevezni. Könnyű belátni, hogy a deg v = deg w egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha v ~ w, és a deg x = 0 egyenlőség akkor és csak akkor igaz, ha x G U(T{g)). Legyen x,y G T(g) \ {0}. Akkor x = sx' és y — by', ahol x',y' megfelelően az x, ill. az y normáltja és £,S G Í7(T(<7)). Az 1. Lemma 3. pontja szerint (xy)' — x'y', és mivel x'y' G Tfy], (7) deg(xy) = ((xy)')° = (x'y') 0 = (x')° + (y')° = deg x + deg y. Legyen (8) ^.T(g)\{0} Z+, (^(x) = deg x. Megmutatjuk, hogy if a T{y) eukhdészi normája. Ha x, y G T(<7)\{0}, akkor a (7)-ből kapjuk, hogy V?(xy) = deg(xy) = deg x -f deg y > deg x = vK 2)és így a (f eukhdészi norma a T(g)-n. Legyen x, y G és y 0. írjuk fel az x-et és az y-t x = ex' és y = <5y' (e, £ G U(T{g)) alakban. Ha x = 0, vagy < f(y), akkor x = y • 0 + x és az (5) teljesül. Legyen most <p(x) > ip(y). Ekkor íp(x) — ip(x') > <p(y) = y?(y'). A T[g] pohnomgyűrűben érvényes az euklidészi osztás, és mivel x'.y' T[(y)-beli elemek, igaz a következő egyenlőség: x' = y'q + r, ahol r = 0 vagy r° < (y')° (q,r G T[y] C T(g)). Ekkor a (6)-ból következik, hogy deg r = (r')° < (y')° = deg y és így <^(r) < <p(y'). Tehát (9) x' = y'q + r, ahol r = 0 vagy <p(r) < <^(y').
