Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1995-1996. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 23)

M. MLGNOTTE és PETHŐ A.: AZ an + bn = z3 diofantoszi egyenletről

52 Maurice Mignötte és Pethő Attila Lemma 3. Ha 0 < q

n-\ < q < q

n és p £ Z, akkor Iaq -p\> Iaq

n - p

n\. A (12) egyenlőtlenségből következik, hogy ulog V V /log < 2,75 11 Legyen a = log / log és határozzuk meg az a lánctörtelőállítását olyan pontossággal, hogy az n-dik közelítő tört nevezője nagyobb legyen, mint \v\, ami legfeljebb 5 • 10

9. Ehhez 23 lánctörtjegyet kell kiszámítanunk, amit az alábbiakban közlünk: a = [0; 1,6, 3,1,4,1, 7,1, 3,1, 3, 2, 2,1,1,110, 2, 3,...] A számítást a MAPLE V komputer algebrai rendszerrel végeztük, de tehettük volna más, hasonló programcsomagokkal is, mint például a PAPI-GP. Könnyen ellenőrizhető a MAPLE V-el, hogy r/

23 > 5 • 10

9, így a 3. Lemma állítása szerint 2,32 • 10"

9 < \aq

2

3 - p

2

3 \ < \va + u\ < 2,75 Ebből következik, hogy m < 12, azaz v < 38. A legutolsó gondolatmenetet még egyszer megismételhetjük csak most már a v < 38 nevezőjű törtekre és az n-re vonatkozó korlátot leredukálhatjuk 3-ra, ami ebben az esetben a tétel bizonyítását is jelenti. A (13) egyenlőtlenség lehetetlensége a fentiekből és a Q log /log Q! = - log /log V_ V egyenlőtlenségből rögtön következik. Irodalom [1] B. N. DELONE and D. K. FADDEEV, The Theory of Irrationalities of the Third Degree. Translations of Mathematical Monographs, Vol. 10, AMS, 1964.